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Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

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Enunciado

1) Considere as regiões do plano

R 1 = x ,   y ∈ R   |   1 ≤ y ≤ x + 1 ,   x ∈ 0 ,   1

e

R 2 = x ,   y ∈ R   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

Considere as integrais duplas

I 1 = ∬ R 1   2 x y + y x 2 + y 2   d x d y

e

∬ R 2   2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d x d y

Seja I = I 1 + I 2 .

  1. Escreva I na forma de uma soma de integrais iteradas, integrando primeiro com respeito a y e em seguida com respeito a x . Efetue a integração e escreva I na forma de uma integral simples

    2. I = ∫ a b f x   d x

    explicitando a , b e f x .

    Neste item não é necessário encontra o valor numérico de I , apenas escrevê-la no formato pedido.

  2. Calcule I .
  3. Escreva a integral I 1 , invertendo a ordem de integração: integrando primeiro com respeito a x e em seguida com respeito a y .

Passo 1

Caraca! Esse problema não vai ser pequeno, então é melhor arregaçarmos as mangas e mãos as obras. Ahh! E vamos com cuidado para não nos perdermos, ok?

Bem, queremos escrever o I como uma soma de integrais iteradas na forma de d y d x ...

I = ∬ R 1   2 x y + y x 2 + y 2   d y d x + ∬ R 2   2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d y d x

Para fazermos isso, precisamos de duas coisas:

1º - Primeiro saber quem é a região R 1 e R 2 .

2º - Descrever cada uma dessas regiões do tipo 1 (para dar d y d x ).

Então bora? :D

Passo 2

Bem, a região 1 é:

R 1 = x ,   y ∈ R   |   1 ≤ y ≤ x + 1 ,   x ∈ 0 ,   1

Ou seja, ela tem como retas delimitantes: y = 1 e y = x + 1 . Como x varia de 0 a 1 , nossa região é...

Já a descrevendo como do Tipo 1 ... Ou seja, o x continua variando em um intervalo numérico e y entre funções:

0 ≤ x ≤ 1

1 ≤ y ≤ x + 1

∬ R 1   2 x y + y x 2 + y 2   d y d x = ∫ 0 1 ∫ 1 x + 1 2 x y + y x 2 + y 2   d y d x

Passo 3

Vamos fazer aqui a mesma coisa para a região 2 ...

R 2 = x ,   y ∈ R   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

Repare que nesse caso o x varia de 0 a 1 e o y também, formando um retângulo de integração...

Como todo retângulo de integração, ele já está descrito como uma região do tipo 1 e do tipo 2 ao mesmo tempo hehe:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

∬ R 2   2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d y d x

Passo 4

Então, o I que é a soma dos dois em d y d x ...

I = ∫ 0 1 ∫ 1 x + 1 2 x y + y x 2 + y 2   d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d y d x

A integral iterada já está escrita como pediu, agora é só resolver as integrais de dentro em y e depois tentar unir as duas integrais em x para encontrar o formato pedido. Veja só!

Passo 5

Primeiro vamos resolver a primeira integral em relação à y ...

I 1 = ∫ 0 1 ∫ 1 x + 1 y 2 x + 1 x 2 + y 2   d y d x

Tirando aquela função de x dali de dentro...

∫ 0 1 2 x + 1 ∫ 1 x + 1 y x 2 + y 2   d y d x

Fazendo uma mudança do tipo

x 2 + y 2 = t       →         d t = 2 y   d y

y   d y = d t 2

Não esqueça dos limites de integração heim!

y = 1           →               t = x 2 + y 2 = x 2 + 1

y = x + 1       →           t = x 2 + y 2 = x 2 + x + 1 2

∫ 0 1 2 x + 1 ∫ 1 x + 1 y x 2 + y 2   d y d x = ∫ 0 1 2 x + 1 ∫ x 2 + 1 x 2 + x + 1 2 1 t d t 2 d x =

∫ 0 1 2 x + 1 1 2 ln ⁡ t x 2 + 1 x 2 + x + 1 2 d x =

∫ 0 1 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 2 - 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 d x

Passo 6

Resolvendo agora a segunda integral

I 2 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d y d x =

∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 ∫ 0 1   d y d x =

∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 d x

Passo 7

Pow, unindo o resultado dessas duas integrais já que I = I 1 + I 2 ...

I = ∫ 0 1 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 2 - 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 d x + ∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 d x

Como a função é contínua e o intervalo é o mesmo, podemos colocar essas duas integrais juntas...

I = ∫ 0 1 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 2 - 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 d x

I = ∫ 0 1 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 2 d x

Dando só mais uma simplificação...

I = ∫ 0 1 2 x + 1 2 ln ⁡ 2 x 2 + 2 x + 1 d x

Então para resposta do primeiro item ficar completa, nos faltava encontrar esses termos aqui:

I = ∫ a b f x   d x

Então, por comparação...

a = 0

b = 1

e

f x = 2 x + 1 2 ln ⁡ 2 x 2 + 2 x + 1

Passo 8

b )

Aqui é apenas calcular aquela integral que definimos ali em cima...

I = ∫ 0 1 2 x + 1 2 ln ⁡ 2 x 2 + 2 x + 1 d x

Realizando uma mudança...

2 x 2 + 2 x + 1 = p       →

d p = 4 x + 2 d x   →       d p = 2 2 x + 1 d x       ⇒       2 x + 1 d x = d p 2

Trocando também os limites de integração...

x = 0       →             p = 2 x 2 + 2 x + 1 = 1

x = 1       →             p = 2 + 2 + 1 = 5              

I = ∫ 1 5 1 2 ln ⁡ p ⋅ d p 2 = 1 4 ∫ 1 5 ln ⁡ p d p

Realizando agora uma integração por partes onde o l n será a função que conseguimos derivar...

u = ln ⁡ p   ��   →           d u = 1 p d p

Então o d v será apenas...

d v = d p     →         v = p

Pela fórmula de integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ p d p = p ⋅ ln ⁡ p - ∫ p ⋅ 1 p d p

∫ ln ⁡ p d p = p ⋅ ln ⁡ p - ∫ d p

∫ ln ⁡ p d p = p ⋅ ln ⁡ p - p

Como o que queremos é a integral definida...

I = 1 4 ∫ 1 5 ln ⁡ p d p = 1 4 p ⋅ ln ⁡ p - p 1 5

1 4 5 ln ⁡ 5 - 5 - ln ⁡ 1 - 1 =

1 4 5 ln ⁡ 5 - 4 =

5 ln ⁡ 5 4 - 1

Passo 9

c )

Nesse item, o que temos que fazer é escrever essa integral na ordem d x d y

I 1 = ∬ R 1   2 x y + y x 2 + y 2   d x d y

Ou seja, descrever a região R 1 do tipo 2 ...

Portanto temos que o y deve variar em um intervalo numérico, ou seja, de 1 até o topo que é dado pelo encontro da reta y = x + 1 com x = 1 ...

y = 1 + 1 = 2

1 ≤ y ≤ 2

Enquanto o x tem que variar entre funções... No caso ele começa a variar na reta...

y = x + 1       →           x = y - 1

E termina de variar em x = 1 ....

y - 1 ≤ x ≤ 1

I 1 = ∫ 1 2 ∫ y - 1 1 2 x y + y x 2 + y 2   d x d y

Resposta

a )

  I = ∫ 0 1 ∫ 1 x + 1 2 x y + y x 2 + y 2   d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2   d y d x

I = ∫ a b f x   d x           o n d e         a = 0 ,   b = 1   e   f x = 2 x + 1 2 ln ⁡ 2 x 2 + 2 x + 1

b )

5 ln ⁡ 5 4 - 1

c )

I 1 = ∫ 1 2 ∫ y - 1 1 2 x y + y x 2 + y 2   d x d y

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.