1. Troque a ordem de integração em:

Com essas duas informações de desigualdades conseguimos definir equações importantes:

Agora estamos preparados para desenhar a região e a boa notícia é que para fazer isso, basta colocar essas quatro equações em forma de curvas no plano , Veja:

1. A primeira equação, , nos representa uma reta paralela ao eixo e que passa justamente por . (Reta azul)
2. A segunda é parecida com essa primeira, mas passa por (mais ou menos igual ). (Reta verde)



3. Quanto à terceira curva, , ela nos representa o próprio eixo . :D (Reta amarela)
4. A quarta, não se preocupe, é apenas o gráfico da função logarítmica; Veja! (Curva vermelha)

Juntando as curvas em um único gráfico (você já pode ir desenhando elas no mesmo gráfico) conseguiremos entre elas a região que estamos trabalhando entre elas :D

Região encontrada... Basta que troquemos e a descrevemos do outro tipo como havíamos comentado: Região do Tipo II. Então venha comigo! :D

Nessa configuração de Região, devemos pegar o variando em um intervalo numérico.

Mas espera um minuto! Ele está variando de até a onde?

Bem, repare então que precisamos definir qual é aquele ponto de intersecção entre a reta verde e a curva vermelha:

Fazer isso é bem simples, basta substituir o no logaritmo:

Então agora podemos falar sem dúvidas que o varia de até esse ponto:

Enquanto isso, o precisa variar de uma curva até a outra.

Repare que conforme o aumenta, ele entra primeiro na região na função logarítmica

e sai na reta verde

Logo

A curva vermelha tem equação , ou, isolando o , .

A reta verde é ; portanto, ganhamos:

Logo a região descrita do tipo II é:

Montando a integral lembrando que o limite numérico sempre vem primeiro, ganhamos: