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Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Integrais duplas e triplas

1. Resolva as integrais duplas:

d) ∫ - 1010 1010 ∫ 2 4 y 5 e x 2 + y 2 + 1 d x d y

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral dupla.

Repara que se formos resolver nessa ordem vai ficar beeem difícil, então vamos usar a técnica de trocar a ordem de integração.

Vamos lembrar que integral de uma função impar em um intervalo simétrico é zero.

Passo 2

Como os limites de integração não dependem de nenhuma variável, é só a gente inverter mesmo:

∫ 2 4 ∫ - 1010 1010 y 5 e x 2 + y 2 + 1 d y d x

Podemos dividir em duas integrais:

∫ 2 4 ∫ - 1010 1010 y 5 e x 2 + y 2 d y d x + ∫ 2 4 ∫ - 1010 1010 1 d y d x

Passo 3

Pra primeira integral vamos ver se ela é ímpar? Se for... já podemos economizar um tempão porque vai dar zero.

Temos duas parcelas... y 5 é ímpar, mas e x 2 + y 2   é part. Como uma função ímpar vezes uma função par dá uma função ímpar, então essa integral vai ser igual a zero:

∫ 2 4 ∫ - 1010 1010 y 5 e x 2 + y 2 d y d x = 0

Passo 4

Pra segunda integral é calcular mesmo:

∫ 2 4 ∫ - 1010 1010 1 d y d x = ∫ 2 4 y - 1010 1010 d x

= ∫ 2 4 1010 - - 1010 d x

= ∫ 2 4 2020 d x

= 2020 x 2 4

= 2020 4 - 2

= 4040

Resposta

4040

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.