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Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista 1 - 2023.1, Questão 1c

Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

∫ ∫ 1 x + y d x   d y R

Onde R = 1,2 × 0,1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ 1 x + y d x   d y R

Onde R = 1,2 × 0,1 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 1 2 ∫ 0 1 1 x + y d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ 0 1 1 x + y d x

Aplicando a integral por substituição, temos:

u = x + y ∴ d u = d x

Logo, substituindo e desenvolvendo, encontramos:

= ∫ y y + 1 1 u d u ∴

= ln ⁡ u y + 1 y ∴

= ln ⁡ y + 1 - ln ⁡ y

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 1 2 ∫ 0 1 1 x + y d x   d y = ∫ 1 2 ln ⁡ y + 1 - ln ⁡ y   d y ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 1 2 ln ⁡ y + 1   d y - ∫ 1 2 ln ⁡ y   d y ∴

Fazendo u = y + 1 ∴ d u = d y , e aplicando integração por partes, temos:

= ∫ 2 3 ln ⁡ u   d y - y ln ⁡ y - ∫ 2 3 d y   ∴

= u ln ⁡ u - ∫ 2 3 1   d u 3 2 - y ln ⁡ y - y 2 1 ∴

= 3 ln ⁡ 3 - 1 - 2 ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 2 - 1 ∴

= ln ⁡ 27 16

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= ln ⁡ 27 16

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Inverta a ordem de integração.