Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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Calculo 2 – UNICAMP – P1
- Inverta a ordem de integração (Tipo I para tipo II) e calcule:
- Usando coordenadas polares calcule:
Passo 1
Temos aqui uma questão de integral dupla que nos pede para resolvê-la em duas etapas: primeiro, mudar a ordem de integração, e segundo, resolver a integral propriamente dita.
Sendo assim, vamos começar discutindo sobre essa mudança na ordem de integração. De cara já sabemos que a nossa integral está montada no formato do tipo 1 (poderíamos confirmar isto verificando que primeiro integramos em e depois em , só ver a ordem ).
Agora, vamos entender como a nossa região se comporta. Como temos uma integral do tipo I, sabemos que a nossa região está limitada acima pela curva e abaixo pela reta (limites de integração da integral mais interna).
Para fecharmos a nossa região, falta as suas laterais. Então, da integral mais externa, temos que ela é limitada a esquerda pela reta e limitada a direita pela reta .
Ao fazermos esboço dessa região, teremos:
Passo 2
Agora que nós conseguimos visualizar a nossa região, fica muito mais fácil mudar a ordem de integração.
Como queremos uma integral do tipo II (integramos primeiro em depois em ), temos que escrever uma região que esteja limitada a esquerda por uma função e a direita por outra. Acima por uma reta e abaixo por outra reta.
Então, nossa região estará limitada a esquerda pela seguinte função:
E ela será limitada a direita por:
Agora, temos que limitar ela por uma reta abaixo e uma reta acima. Abaixo teremos a reta . Já acima será pela reta , sendo o valor da interseção das curvas e . Portanto, temos:
E assim a nossa integral no tipo II será escrita da seguinte forma:
Tomem muito cuidado na hora de mudar os limites para não esquecerem de mudar a ordem do e viu!!!
Passo 3
Por fim, só nos resta resolvermos a nossa integral. Começando a integração pela variável , temos:
Agora, só nos resta integramos em relação a . Portanto,
E assim concluímos a nossa questão. O valor da nossa integral é igual a 1.