Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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UFSCAR. Cálculo 3. Lista de Estudos – Integrais Duplas. Questão 9.
10 – Considere
Reescreva esta mesma integral invertendo a ordem de integração. Como ficariam os limites de integração agora? Qual o valor desta integral?
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha com você? Vem comigo resolver mais uma questão de integrais duplas.
E pra começar, vamos entender esse enunciado aí. Veja bem, a questão pede pra gente reescrever esta integral
Invertendo a ordem de integração.
Mas calma aí, porque aqui não podemos simplesmente trocar o por , isso faria com que nós estivéssemos integrando uma região totalmente diferente. Então para garantir que vamos fazer a trocar e manter a região de integração igual, nós precisaremos corrigir também os limites de integração. Belezinha???
E para fazer isso, vamos desenhar a região de integração para ver como fazer essa troca e depois calcular, de fato, a integral.
Vamos ver como fica no nosso caso? 😎
Passo 2
A integral original é
E podemos ver que está variando entre as funções
E está variando entre as constantes
Então, desenhando essa região encontraremos:
Para inverter a ordem de integração precisaremos com que a integral fique desse jeito aqui:
Ou seja, precisa variar entre funções e entre constantes.
Pelo gráfico podemos ver que pode ser escrito com variação que vai da curva e
Assim:
E os valores de estão variando entre as constantes e .
Agora que já temos os novos limites de integração, só nos resta resolver a integral, sendo:
Bora fazer isso no próximo passo.
Passo 3
Resolvendo a integra utilizando o Teorema de Fubini, teremos:
Resolvendo a integral de dentro
Aplicando os limites de integração
Show! Agora vamos resolver a integral de fora
Aplicando os limites de integração, ficaremos com:
Assim o resultado final da nossa integral é: