Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

Ver Teoria
Exercício 41235678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394

Enunciado

Calcule a integral iterada

∫ 0 1 ∫ x 1 sen ⁡   y 2 d y d x

Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração, que é bem simples. Repara que temos como limites de y a curva y = x e a curva y = 1 , enquanto x   varia de 0 a 1 .

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: ∫ sen  ⁡ ( y 2 ) d y . Não sabemos calcular essa integral, por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo II.

Pelo gráfico, vemos que y varia entre 0 e 1 e que x varia entre 0 e a reta vermelha ( y = x ). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 1 ∫ 0 y s e n y 2 d x d y

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a x :

∫ 0 1 ∫ 0 y s e n y 2 d x d y =

∫ 0 1 x sen ⁡ ( y 2 ) x = 0 x = y d y =

∫ 0 1 y sen ⁡ ( y 2 ) d y =

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y , fazendo a substituição y 2 = u . Temos 2 y d y = d u .

= 1 2 ∫ 0 1 sen ⁡ ( y 2 ) ( 2 y d y ) =

= 1 2 ∫ 0 1 sen ⁡ ( u ) d u =

= - 1 2 cos ⁡ u 0 1 =

= - 1 2 cos ⁡ 1 - cos ⁡ 0 =

1 2 1 - cos ⁡ 1

Resposta

1 2 1 - cos ⁡ 1

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.