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Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

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Enunciado

A região Ω do plano é dado por Ω = x ,   y ∈ R 2   |   x 2 ≤ y ≤ 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 . Se f = f x ,   y for uma função contínua sobre R 2 então a integral dupla ∬ Ω   f x ,   y   d A é igual a

  1. ∫ 0 1 ∫ - y y f x ,   y   d x d y
  2. ∫ - 1 1 ∫ - y 1 f x ,   y   d x d y
  3. ∫ 0 1 ∫ x 1 f x ,   y     d y d x
  4. ∫ 0 1 ∫ y y f x ,   y   d x d y
  5. ∫ 0 1 ∫ - x x f x ,   y   d y d x

Passo 1

Bem, infelizmente não tem nenhuma resposta com

∫ - 1 1 ∫ x 2 1 f x ,   y   d y d x

Pois se não seria essa na cara. O fato de não ter essa resposta significa que o problema quer que troquemos a ordem das variáveis de integração.

Passo 2

Para fazer isso, primeiro devemos trocar a ordem da configuração da descrição da região. Desenhando essa região Ω no plano colocando essas 4 curvas no x y :

y = x 2

y = 1

x = - 1

x = 1

Repare que a região Ω é...

Com x variando entre números, ela está configurada como região de tipo 1 . Então mudemos isso!

Passo 3

Para classificar a região como do tipo 2 , coloquemos o y variar entre números...

0 ≤ y ≤ 1

Enquanto o x , varia de um ramo da parábola ao outro...

y = x 2     →           x = ± y

- y ≤ x ≤ y

Montando a integral com essa variação...

∫ 0 1 ∫ - y y f x ,   y   d x d y

Resposta

a )   ∫ 0 1 ∫ - y y f x ,   y   d x d y

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.