Quarta Questão: Calcule a integral.

∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sin ⁡ y 3 d y   d x

Passo 1

Bem...! Em exercícios como esse, você tem que ficar muuuuito atento, pois embora a integral talvez até dê para resolver, mas você perderia muito tempo de prova! Por isso pare, pense e reflita antes de qualquer conta, ok?

Nesse exercício vamos, portanto, realizar uma troca da ordem de integração e ver se isso nos ajuda, bora?

Passo 2

Para trocar a ordem como planejamos, devemos antes desenhar a região de integração, mas não se preocupe, pois isso pode ser feito retirando algumas informações da própria integral:

  1. como o d x está mais externo, os limites mais externos são dele, portanto:
  2. 0 ≤ x ≤ 1

  3. Enquanto isso:

x 2 ≤ y ≤ 1

Com esses dois intervalos retirados da integral, você sempre ganha 4 equações:

x = 0

x = 1

y = x 2

y = 1

E advinha? Sim, vamos desenhar essas 4 curvas no plano X Y !

Passo 3

Comecemos com as três primeiras mais simples equações:

x = 0 e x = 1 , ambas duas retas bem simples paralelas ao eixo y (inclusive x = 0 é o próprio eixo y )

y = 1 também é uma reta bem simples, porém dessa vez ela é paralela ao eixo x . Veja!

Um pouquinho mais “elegante” que essas, está a curva da parábola, y = x 2 ... Juntando essas curvas, logo podemos perceber a região que estamos trabalhando entre as 4 ;)

Passo 4

O que devemos fazer agora é trocar a ordem de integração!

Pow! Se antes estávamos trabalhando com x variando em um intervalo numérico, isso implicava que estávamos trabalhando com a região configurada do T i p o   1 . Então, a gente vai configura-la agora do Tipo 2 :D!

Nessa configuração, temos o y que varia entre dois números reais, no caso ele varia de 0 até a reta verde;

0 ≤ y ≤ 1

Não podemos nos esquecer da variação do x também!

x entra na reta vermelha e sai na curva azul (acompanhe a reta PRETA com o seu dedo e veja )

Logo

r e t a   v e r m e l h a ≤ x ≤ c u r v a   a z u l

Como a curva azul é y = x 2 isolando o x ...

x = ± y

Onde concluímos que (estamos no primeiro quadrante, então o lado positivo devemos pegar)

0 ≤ x ≤ y

Passo 5

Basta agora colocar essa nova variação

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ y

dentro da integral dupla (mas não se esqueça que o limite numérico sempre vem primeiro )...

∫ 0 1 ∫ 0 y x 3 sin ⁡ y 3   d x d y

Repare que agora a inversão está concluída e podemos prosseguir com a resolução da integral. Bora?

Passo 6

Calculando primeiro a integral de dentro...

∫ 0 1 ∫ 0 y x 3 sin ⁡ y 3   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x 3 sin ⁡ y 3   d x d y

Como a função de dentro depende apenas de x e estamos integrando em x podemos a considerar como uma constante fazendo-a vazar de dentro dessa integral...

∫ 0 1 sin ⁡ y 3 ∫ 0 y x 3   d x d y =

∫ 0 1 sin ⁡ y 3 x 4 4 0 y d y =

∫ 0 1 sin ⁡ y 3 y 4 4 d y =

∫ 0 1 sin ⁡ y 3 y 2 4 d y =

Fazendo agora uma substituição do tipo...

y 3 = u       →

d u = 3 y 2 d y             o u               y 2 d y = d u 3

não esqueça de substituir os limites...

y = 0             →               u = 0 3 = 0

y = 1             →               u = 1 3 = 1

∫ 0 1 sin ⁡ y 3 y 2 4 d y = 1 4 ∫ 0 1 sin ⁡ u d u 3 =

1 12 ∫ 0 1 sin ⁡ u d u =

1 12 - cos ⁡ u 0 1 =

1 12 - cos ⁡ 1 - - cos ⁡ 0 =

1 12 1 - cos ⁡ 1

Resposta

b ) 1 - cos ⁡ 1 12

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.