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Exercícios Resolvidos de Empuxo

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Enunciado

PUCRIO – FIS1041 – G1 – 2019.2

A figura mostra uma caixa de aço de base quadrada com lado d = 0,500   m e altura h = 0,550   m e massa total M = 100,0   k g . (Forneça as resposta em notação cietífica com o número adequado de algarismos significativos).

(a) Determine a profundidade de equilíbrio h 0 e mostre que ela não depende da aceleração da gravidade g .

(b) Qual o volume de petróleo deve ser adicionado no interior da caixa de modo a manter seu bordo superior 10,0   c m acima da superfície da água?

Passo 1

O exercício fala em equilíbrio, mas observando o problema com cuidado, vemos que ele se refere mais especificamente a um equilíbrio estático, ou seja, quando a somatória das forças em um determinado corpo é nula. Apenas esse principio já nos ajuda a entender um pouco o nosso problema.

Outra coisa importanssima, é nunca jogar petróleo na água. Hahaha.

Passo 2

(a) Então temos que nossa caixa está imersa em um tanque dágua talvez e está em equilíbrio estático. Assim se tomarmos a somatória das forças em nossa caixa, temo

∑ F → = E → + P → = 0

Na qual E → é o empuxo e P → o peso da caixa. Perceba que a única direção que a componentes, é y ^ , assim dizemos que

y ^ : E + P = 0

Mas ainda assim, não podemos esquecer de considerar o sinal da orientação, ou seja

E = ρ V g

e

P = - M g

Na qual ρ é a densidade do liquído que é deslocado, no nosso caso, a água.

Então temos que

ρ V i g = M g → ρ V = M

Mas quem é V i ? No empuxo, temos que V da fórmula é referente ao volume imerso e não ao volume total. Assim temos que o volume da caixa que está dentro da água será

V i = d 2 h 0

O que nos da

h 0 = M ρ d 2 = 100   k g 1000 k g m 3 ⋅ 0,5 2 m 2 = 0,4   m = 4,00 × 10 - 1 m

Passo 3

(b) Agora queremos adicionar petróleo dentro da caixa, não na água. Então o que acontece com nossa somatória de força? Que ainda é nula heim.

∑ F → = E → + P → C + P → P = 0

Na qual agora P C é o peso da caixa, enquanto P P é o peso que o petróleo faz na caixa. Além disso, temos que o nosso empuxo será

E = ρ V i g = ρ g V - V j

Onde V é o volume total e V j o restante do volume da caixa que está para fora ainda. O problema sugere que ainda ficou acima do nível da água, 10,0   c m da caixa. Assim temos que

E = ρ g d 2 0,550 - 0,1 = 0,45 ρ g d 2

Agora vamos reescver a equação do peso do petróleo, afim de nos ajudar a resolver nosso problema. Assim tome que

P P = m P g = ρ P V P g

Onde não esqueça que

ρ P = m P V P

Assim temos que

∑ F y = 0,45 ρ g d 2 - M g - ρ P V P g = 0

Ou seja

0,45 ρ d 2 - M - ρ P V P → V P = 0,45 ρ d 2 + M ρ P

E ai vem que o problema não deu, mas ρ P = 850   k g / m 3

Faz sentido ele ser menos denso né? Quando o petróleo cai no mar, ele fica na superfície e visível. Mas seguindo hahaha

V P = 0,45   m 1000 k g m 3 0,5   m 2 + 100 k g 850   k g / m 3 ≈ 0,0147 ≈ 1,47 × 10 - 2 m 3

Resposta

  1. 4,00 × 10 - 1 m
  2. 1,47 × 10 - 2 m 3

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