Uma barra delgada e homogênea de massa M possui um pivô em uma das extremidades e na outra, uma mola vertical de constante elástica k. Mostre que a barra, quando deslocada de um pequeno ângulo θ de sua posição de equilíbrio horizontal e liberada, realiza um movimento harmônico simples de frequência angular ω = 3 k M .

Passo 1

Primeiro vamos considerar a posição de equilíbrio!

Na posição de equilíbrio, a mola está relaxada. Então ela não vai tá fazendo nenhuma força ou momento na barra. Beleza?

Vamos fazer o somatório de momentos no ponto de encaixe do pivô, no equilíbrio. Vou chamar o comprimento da mola de L. Vamos ter:

∑ M = 0

- P L 2 + τ P = 0

τ P = P L 2

Ou seja: no ponto de apoio do pivô ele vai tá exercendo um torque sobre a barra que vale o oposto do torque da força peso na posição de equilíbrio.

Passo 2

Show! Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotações no ponto de encaixe do pivô.

O torque da força peso vai ser:

τ P e s o = - P L 2 = - m g L 2

O torque do pivô vai ser:

τ P = P L 2 = m g L 2

E o torque da força elástica? Vai ser:

τ F E l = - F E l L

τ F E l = - k x L

E nós podemos dizer que x, que é a elongação da mola, é:

x = L sin ⁡ θ

τ F E l = - k L 2 sin ⁡ θ

Maravilha! Uma observação: estamos considerando como negativos os torques que fazem a barra girar no sentido horário e como positivos os torques que fazem ela girar no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotações.

Vai ficar:

I θ ¨ = τ P e s o + τ P + τ F E l

I θ ¨ = - m g L 2 + m g L 2 - k L 2 sin ⁡ θ

I θ ¨ + k L 2 sin ⁡ θ = 0

Como são pequenas inclinações podemos dizer que:

sin ⁡ θ ≅ θ

I θ ¨ + k L 2 θ = 0

E para a barra, a inércia é:

I = m L 2 3

Trocando:

m L 2 3 θ ¨ + k L 2 θ = 0

θ ¨ + 3 k m θ = 0

Comparando com o MHS:

θ ¨ + ω 0 2 θ = 0

ω 0 2 = 3 k m

ω 0 = 3 k m

Resposta

Demonstração!

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