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Exercícios Resolvidos de Oscilador Linear Massa-Mola

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Enunciado

Um oscilador consiste num bloco preso a uma mola de constante elástica 456 N/m. Num dado instante o bloco passa pela posição 0,112 m, medida em relação a sua posição de equilíbrio, com velocidade de -13,6 m/s e aceleração de -123 m/ s 2 . Calcule a massa do bloco, a frequência e a amplitude de oscilação.

Passo 1

A gente vai fazer uma viagem muito grande agora pra resolver essa questão. Kkkkkkkkk (Rindo de nervoso).

Então, primeiro vamos escrever a posição, velocidade e aceleração:

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

x ˙ t = - ω 0 x m s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

x ¨ t = - ω 0 2 x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

Maravilha! Agora vamos usar os dados que ele deu.

Nós não sabemos o tempo, só a posição, velocidade e aceleração. Então:

I                                     0,112 = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

I I   - 13,6 = - ω 0 x m s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

I I I - 123 = - ω 0 2 x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

Passo 2

Show! Agora eu vou fazer a equação III dividida pela equação I, igual sistema:

I I I I = - 123 0,112 = - ω 0 2 x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ ) x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

1098,2 = ω 0 2

ω 0 ≅ 33,14   r a d / s

Passo 3

Beleza. Agora nas equações I e II eu vou isolar o cosseno e o seno:

cos ⁡ ( ω 0 t + φ ) = 0,112 x m

s in ⁡ ( ω 0 t + φ ) = 13,6 ω 0 x m

Já se ligou no que eu vou fazer? Não? Então se liga agora:

s in 2 ⁡ ( ω 0 t + φ ) + cos 2 ⁡ ( ω 0 t + φ ) = 1

E agora vamos substituir:

13,6 ω 0 x m 2 + 0,112 x m 2 = 1

x m 2 = 13,6 2 + 0,112 2 ω 0 2 ω 0 2

x m 2 = 13,6 2 + 0,112 2 × 33,14 2 33,14 2

x m ≅ 0,426   m

Achamos a amplitude, glória a Odin!

Passo 4

Com a frequência angular conseguimos achar a frequência em hertz! Assim:

ω = 2 π f

33,14 = 2 × 3,14 f

f ≅ 5,27   H z

Passo 5

Agora vamos achar a massa do bloco. A gente conhece a frequência angular e o k da mola, então podemos fazer:

ω 0 = k / m

33,14 = 456 m

m ≅ 0,416     k g

Acabou! Glorifica de pé!

Resposta

m ≅ 0,416     k g

f ≅ 5,27   H z

x m ≅ 0,426   m

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