Considere um bloco de massa M preso a uma mola de constante elástica k. O bloco se encontra em repouso quando um objeto de massa m e velocidade v o atinge e se aloja no bloco. Após a colisão, a mola se alonga e o sistema realiza um movimento harmônico simples (MHS). Desprezando a compressão da mola durante a colisão e assumindo t = 0 o instante imediatamente após a colisão, marque a alternativa correta que descreve a solução x(t) do MHS resultante.

a) x t = k ( m + M ) m v cos ⁡ k m + M t

b) x t = v m + M k cos ⁡ k m + M t

c) x t = m v k ( m + M ) cos ⁡ k m + M t

d) x t = m v k ( m + M ) sin ⁡ k m + M t

e) x t = v k m + M cos ⁡ k m + M t

f) x t = v m + M k sin ⁡ k m + M t

g) x t = k ( m + M ) m v sin ⁡ k m + M t

h) x t = v k m + M sin ⁡ k m + M t

i) x t = m k m + M v cos ⁡ k m + M t

Passo 1

Vamos usar a conservação do momento linear! Isso quer dizer:

Q a n t e s = Q d e p o i s

m a n t e s v a n t e s = v d e p o i s m d e p o i s

m v = v f   ( m + M )

v f   = m v m + M

Passo 2

Vamos lembrar que a equação do MHS é desse tipo:

x t = x m s e n ( ω t + φ )

E então:

v t = ω x m c o s ⁡ ( ω t + φ )

Repare que tanto faz se eu uso seno ou cosseno em x ( t ) ! Porque se eu usar seno, vou achar um determinado valor de φ . Se eu usar cosseno, vou achar outro valor de φ . Na prática, não faz diferença, porque os dois resultados expressam o mesmo movimento. Mas, resolvendo a questão antes eu percebi que se usarmos:

  x t = x m c o s ( ω t + φ )

Não tem nenhuma alternativa que bata. Então vamos usar seno mesmo. =)

Perceba agora que a velocidade v f   que a gente achou no passo anterior é a velocidade máxima do conjunto! Porque ele tá passando na posição x = 0, equilíbrio, onde a energia cinética é máxima. E a velocidade máxima é:

v f   = ω x m

m v m + M = ω x m

x m = m v ω ( m + M )

E ω ?

Préstenção, ω a gente calcula do mesmo jeito de sempre:

ω = k / m

Mas aí no caso a massa é do conjunto né? Então:

ω = k / ( m + M )

Substituindo:

x m = m v k / ( m + M ) ( m + M )

x m = m v k ( m + M )

Passo 3

Vamos perceber agora que:

x 0 = x m s e n φ = 0

Então φ = 0.

Vai ficar então:

x t = m v k m + M s e n k m + M t

Resposta

Letra D.

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