Um pêndulo é constituído por uma partícula de massa M pendurada na extremidade de uma barra rígida fina de massa desprezível e comprimento L. Uma mola de constante elástica k é conectada à barra a uma distância h abaixo do ponto de suspensão, conforme a figura abaixo. Encontre a frequência angular do sistema para valores pequenos da amplitude θ .

Passo 1

Aqui a gente vai ter que usar a segunda lei de Newton para rotações. É aquela que em vez de força resultante, a gente usa torque resultante.

Em um pêndulo igual a esse da figura, a força peso se decompõe assim:

E a única força que vai tá fazendo torque, além da força elástica, vai ser essa força P x . Porque a outra parte do peso, paralela ao fio, não produz torque. Beleza?

E nós podemos escrever que:

P x = - P sin ⁡ θ

Coloquei esse sinal de menos porque a gente tá considerando como negativo tudo que faz esse cara girar no sentido anti-horário!

Então o torque da força peso vai ser:

τ P = - P x L

τ P = - P sin ⁡ θ L

Passo 2

Para a força elástica vamos ter:

F E l = - k x

E como esse x é a compressão da mola, podemos aproximar que:

x = h sin ⁡ θ

Então:

F E l = - k h sin ⁡ θ

E o torque da força elástica então vai ser:

τ F E l = - k h 2 sin ⁡ θ

Passo 3

Aplicando a segunda lei e Newton para rotações:

I θ ¨ = - P sin ⁡ θ L - k h 2 sin ⁡ θ

I θ ¨ + sin ⁡ θ ( P L + k h 2 ) = 0

A inércia do pêndulo simples é:

I = m L 2

Então:

m L 2 θ ¨ + sin ⁡ θ ( m g L + k h 2 ) = 0

θ ¨ + sin ⁡ θ m g L + k h 2 m L 2 = 0

E como ele disse que são pequenas inclinações, podemos dizer que:

sin ⁡ θ ≅ θ

Então:

θ ¨ + m g L + k h 2 m L 2 θ = 0

Passo 4

Lembra da equação do MHS, que é:

θ ¨ + ω 0 2 θ = 0

Então:

ω 0 2 = m g L + k h 2 m L 2

ω 0 = m g L + k h 2 m L 2

Resposta

ω 0 = m g L + k h 2 m L 2

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