Considere o movimento harmônico simples de um bloco de massa m ligado a uma parede vertical através de uma mola de constante elástica k , como ilustrado na figura abaixo. Não há atrito entre o bloco e o plano horizontal e nem há resistência do ar neste ambiente. Sabe-se que no instante   t = 0 o bloco está na posição x = + A , onde a deformação da mola é máxima. Nestas circunstâncias, calcule:

  1. O valor da constante de fase ϕ deste movimento harmônico simples.
  2. O instante de tempo para o qual a posição do bloco é x = + A 2 .
  3. O instante de tempo para o qual a energia potencial elástica da mola é igual 3 4 da energia mecânica do sistema em t = 0   .

Passo 1

Sabemos que:

x t = x m c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde x m é a amplitude, que neste problema vale A , e ω = k m .

Dessa forma, nossa equação será:

x t = A c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Passo 2

A letra (a) pede o valor da constante de fase ( ϕ ).

Em t = 0 → x = A . Assim, usando a nossa equação do passo 1, temos:

A = A c o s ϕ → cos ⁡ ϕ = 1

Com isso, ϕ = 0 .

Passo 3

Como ϕ = 0 , temos que:

x t = A c o s ( ω t )

Na letra (b), ele nos pede o instante de tempo para x = + A 2 , então:

A 2 = A c o s ω t → cos ⁡ ω t = 1 2

Dessa forma:

ω t = π 3 → t = π 3 ω

Mas como   ω = k m :

t = π 3 m k

Passo 4

Sabemos que a energia elástica ( U e l á s t ) é dada por:

U e l á s t = 1 2 k x 2

Como x = A c o s ( ω t ) e a energia mecânica do sistema é igual a energia potencial elástica:

U = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω t

Passo 5

Como na letra (c) ele quer o instante de tempo em que a energia potencial elástica é igual a 3 4 da energia mecânica, que é a própria energia elástica, do sistema em t = 0 :

U t = 3 4 U ( 0 )

1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω t = 3 4 ∙ 1 2 k A 2

Com isso:

cos ⁡ ω t = 3 2 → ω t = π 6

E:

t = π 6 m k

Resposta

  1. ϕ = 0
  2. t = π 3 m k
  3. t = π 6 m k

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