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Exercícios Resolvidos de Oscilador Linear Massa-Mola

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Enunciado

Um bloco de massa M preso a uma mola de constante elástica k descreve um movimento harmônico simples horizontal com amplitude A 1 . No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro, de massa m, cai verticalmente de uma pequena altura sobre o bloco e gruda nele.

a) Calcule a nova amplitude e o novo período.

b) Repita o item (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no instante em que ele está na extremidade de sua trajetória.

Passo 1

a) Nosso Passo 1 vai ser achar a velocidade do bloco de massa M na hora (antes) do choque. Ou seja, na hora que ele passa pelo equilíbrio. Ok?

Bom, na hora que o bloco passa pelo equilíbrio ele tem velocidade máxima. Isso quer dizer que a energia cinética dele é igual à energia mecânica total. Então:

E M = E C

k A 1 2 2 = M v A 2 2

v A = A 1 k M

E eu chamei essa velocidade de v A porque é a velocidade antes do choque.

Passo 2

Agora nosso Passo 2 vai ser calcular a velocidade dos blocos depois do choque. Vamos usar conservação de momento linear! Vê bem:

v A M = v D ( M + m )

E v D quer dizer velocidade depois do choque.

v D = v A M M + m

v D = A 1 k M M M + m

v D = A 1 k M M + m

Duas observações: como ele diz que o bloquinho caiu de uma altura pequena você vai considerar que a energia potencial dele antes da queda era zero. Ou seja, quando ele toca o blocão a velocidade dele é zero. Sholes?

Segunda coisa, essa velocidade v D é a nova velocidade máxima do sistema. Porque é a nova velocidade quando blocão e bloquinho passam pelo equilíbrio, tudo acontece muito rápido. Se ligou?

Passo 3

Agora que nós temos uma nova velocidade máxima, teremos também uma nova amplitude e uma nova energia mecânica. Vamos usar a mesma fórmula do Passo 1 pra achar essa nova amplitude:

k A 2 2 2 = ( M + m ) v D 2 2

k A 2 2 2 = ( M + m ) 2 A 1 k M M + m 2

A 2 2 = A 1 2 M M + m

A 2 = A 1 M M + m

Isso aí!

Passo 4

Agora só falta o período né?

Bom, o período tem uma fórmula bem simples.

Ela é:

T = 2 π m k

Como nesse caso nossa massa é M + m , o período vai ser:

T = 2 π M + m k

Passo 5

b) Agora ele pede a mesma coisa que na letra a, só que o choque acontecendo em uma das extremidades do movimento.

A gente sabe que na extremidade a velocidade é igual a zero, porque é um ponto de retorno. Então fazendo a mesma coisa que na letra a, aplicando conservação do momento linear, vai ficar:

v A M = v D ( M + m )

Só que v A = 0 né? Então necessariamente v D = 0 .

Então o que vai acontecer?

O sistema vai continuar tendo exatamente a mesma amplitude A 1 . Só o que vai mudar vai ser a velocidade máxima quando blocão e bloquinho passarem pelo equilíbrio, porque como a massa aumentou a velocidade máxima vai diminuir. Show?

Então:

A 2 = A 1

E o período? Como nem a mola nem a massa mudou, ele continua sendo:

T = 2 π M + m k

Resposta

a) A 2 = A 1 M M + m , T = 2 π M + m k

b)   A 2 = A 1 , T = 2 π M + m k

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