Um bloco de 175 g preso a uma mola ideal de constante elástica 155 N/m executa um movimento harmônico simples sobre um trilho de ar horizontal. Num dado instante o corpo passa a 3,00 cm da posição de equilíbrio com velocidade de 0,815 m/s. Determine a amplitude, o período e a velocidade máxima do corpo.

Passo 1

Então, no enunciado ele tá dando a massa e a constante da mola. Isso facilita muito a nossa vida, porque podemos calcular direto a frequência angular:

ω 0 = k m

ω 0 = 155 0,175

ω 0 ≅ 29,76   r a d / s

Beleza!

Passo 2

Vamos escrever a posição do bloco:

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

E a velocidade é a primeira derivada da posição:

x ˙ t = - x m ω 0 s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

Agora vamos usar os dados que ele deu no enunciado. Ele disse o bloco passa pela posição 0,03 m com velocidade 0,815 m/s. E já vou trocar também pelo valor que achamos pra ω 0 . Então:

0,03 = x m cos ⁡ ( 29,76   t + φ )

0,815 = - 29,76   x m s in ⁡ ( 29,76   t + φ )

Passo 3

Cara, agora nós vamos fazer uma para muito louca aqui. Acompanha comigo. Vou isolar o cosseno e o seno nas duas equações:

cos ⁡ ( 29,76   t + φ ) = 0,03 x m

s in ⁡ ( 29,76   t + φ ) = - 0,815 29,76 x m

E você lembra disso aqui:

cos 2 ⁡ ( 29,76   t + φ ) + s in 2 ⁡ ( 29,76   t + φ ) = 1

É isso que nós vamos usar!

Vou trocar o que achamos para cosseno e seno:

0,03 x m 2 + 0,815 29,76 x m 2 = 1

0,03 2 29,76 2 + 0,815 2 ( 29,76 x m ) 2 = 1

x m = 0,03 2 29,76 2 + 0,815 2 29,76 2

x m ≅ 0,0406   m = 4,06   c m

Passo 4

Vamos voltar na função da velocidade:

x ˙ t = - x m ω 0 s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

E trocar os valores que a gente conhece:

x ˙ t = - 29,76 × 0,0406 s in ⁡ ( 29,76   t + φ )

x ˙ t = - 1,21 s in ⁡ ( 29,76   t + φ )

A velocidade máxima vai ser a amplitude dessa função velocidade. Ou seja:

v M á x = 1,21   m / s

Passo 5

Por último vamos calcular o período. Obaaaaa!

T = 2 π ω 0

T = 2 π 29,76

T ≅ 0,211   s

Resposta

x m ≅ 0,0406   m = 4,06   c m

T ≅ 0,211   s

v M á x = 1,21   m / s

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