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Exercícios Resolvidos de Oscilador Linear Massa-Mola

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Enunciado

A figura mostra três osciladores harmônicos de mesma massa m e constante elástica k . Não há atrito entre o bloco e as superfícies de contato, nem resistência do ar. Pode-se dizer das frequências angulares naturais de oscilação ω o   que

  1. ω 0 1 = ω 0 2 = ω o 3
  2. ω 0 1 < ω 0 2 < ω o 3
  3. ω 0 3 < ω 0 2 < ω o 1
  4. ω 0 1 < ω 0 3 < ω o 2
  5. ω 0 2 < ω 0 1 < ω o 3

Passo 1

Os osciladores 2 e 3 diferem do oscilador 1 pela presença de forças resultantes f = m g s i n θ   e   f = - m g ao longo da vertical, respectivamente. Tais forças alteram a posição em torno da qual as oscilações harmônicas ocorrem, mas não a frequência natural da oscilação. Isto pode ser demonstrado diretamente da equação diferencial para a coordenada do oscilador na presença da força restauradora da mola e da força constante f :

m x ˙ ˙ = - k x + f = 0

x ˙ ˙ + ω o 2 x - f m = 0

Ou seja,

x ˙ ˙ + ω o 2 x x - f m ω o 2 = 0

Que em termos de uma nova variável z = x - f m ω o 2 é idêntica à do oscilador 1

z ˙ ˙ + ω o 2 z = 0

z = A c o s ω o t + ϕ

x t = f m ω o 2 + A c o s ω o t + ϕ

Ou seja, as oscilações ocorrem em torno da posição x e q = f m ω o 2 com frequência angular

ω o = k m , logo

ω 0 1 = ω 0 2 = ω o 3

Para o oscilador 2, a posição de equilíbrio estaria m g s i n θ k abaixo da posição relaxada da mola e para o oscilador 3, estaria m g k abaixo da posição relaxada da mola.

Resposta

Letra a

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