Uma mola ideal de constante elástica k está fixada ao solo, mantendo-se na posição vertical. Ela tem na sua parte superior um prato, de massa desprezível. O comprimento da mola nesta situação inicial, sem deformação, vale l 0 . Uma pessoa segura um objeto de massa m encostada no prato e o abandona. O objeto fica nele grudado, passando este sistema massa+mola a oscilar verticalmente.

a) Determine a posição vertical yeq em relação ao solo em torno da qual o sistema irá oscilar.

b) Tomando este ponto como nova origem, escreva a expressão para a deformação da mola numa posição y qualquer.

c) Obtenha a equação diferencial para y ( t ) que governa este movimento de oscilação.

d) Considerando t   =   0 o instante em que o objeto é abandonado sobre o prato, e usando a nova origem introduzida no item b), escreva as condições iniciais deste movimento de oscilação.

e) Escreva a função horária que descreve este movimento na forma y ( t )   =   A c o s ( ω t   + ϕ ) , deixando claro as expressões para a frequência angular, para a amplitude, e para a constante de fase.

Passo 1

a) Numa posição y qualquer, em relação ao solo, a mola estará deformada de ( y - l o ), e a Segunda Lei de Newton aplicada a este movimento é:

- k y - l o - m g = m a

O sistema irá oscilar em torno da posição de equilíbrio: a   =   0 . Então

- k y e q - l o - m g = 0

y e q = l o - m g k

Passo 2

b) Em relação a este ponto a posição da mola quando não está deformada é + m g k . Então para um ponto y qualquer, também em relação a este ponto de equilíbrio, a deformação vale

∆ l = y - m g k

Passo 3

c) Aplicando a Segunda Lei de Newton:

- k y - l o - m g = m a

- k y + m g - m g = m a

Logo

y ˙ ˙ + k m y = 0

Passo 4

d) Em relação à posição de equilíbrio, a posição do objeto em t   =   0 era y o = + m g k e sua velocidade inicial era v 0   =   0 .

Passo 5

e) Substituindo a solução geral y ( t )   =   A c o s ( ω t ϕ ) na equação diferencial, obtemos

ω = k m

A velocidade é dada por v t = - ω A s e n ( ω t   + ϕ   ) . Aplicando as condições iniciais temos

y 0 = A c o s ϕ = + m g k

v 0 = - ω A s e n ϕ = 0

A segunda equação implica em ϕ = 0 ou π . Supondo A   >   0 , a primeira equação implica em ϕ = 0 e portanto A   = m g k . Logo

y t = m g k cos ⁡ ( k m t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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