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Exercícios Resolvidos de Oscilador Linear Massa-Mola

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Enunciado

Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples horizontal com uma amplitude A 1 . No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura, grudando-se nele. A nova amplitude e período são:

(a) A 2   =   A 1 M M + m   e   T = 2 π M + m k

(b) A 2   =   A 1 M M + m   e   T = π M k

(c) A 2   =   2 A 1 M m   e   T = 2 π m k

(d) A 2   =   A 1 M m   e   T = 4 π M + m k

(e) A 2   =   A 1 M   e   T = π 2 M k

Passo 1

Aqui nós teremos uma colisão, então a energia vai diminuir. Mas o momento linear se conserva! A conservação do momento linear pode dar pra gente uma relação entre as velocidades antes e depois, olha só:

Q a n t e s = Q d e p o i s

M v 1 = M + m v 2

Guarde essa fórmula!

Passo 2

Show! Agora vamos ver as energias. Antes da colisão vai ser assim:

E 1 = M v 1 2 2 = k A 1 2 2

E aí podemos achar v 1 :

v 1 = A 1 k M

Depois da colisão vai ser:

E 2 = ( m + M ) v 2 2 2 = k A 2 2 2

E achando v 2 :

v 2 = A 2 k ( m + M )

Maravilha, tendo esses dois caras, v 1 e v 2 , nossos problemas acabaram.

Passo 3

Agora vamos substituir v 1 e v 2 lá na relação que a gente achou:

M v 1 = M + m v 2

M A 1 k M = ( m + M ) A 2 k ( m + M )

M 2 A 1 2 k M = ( m + M ) 2 A 2 2 k ( m + M )

M A 1 2 = ( m + M ) A 2 2

A 2 2 = A 1 2 M ( m + M )

A 2 = A 1 M ( m + M )

Beleza, agora só falta o período.

Passo 4

Não sei se você se lembra dessa fórmula aqui:

T = 2 π ω

Só falta achar ω né? Também temos uma fórmula pra ω :

ω = k m

Mas no caso nossa massa depois da colisão será m + M. Então:

ω = k ( m + M )

Substituindo na fórmula do período:

T = 2 π ( m + M ) k

Belezinha! Easy, easy.

Resposta

Letra A.

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