Um sistema massa-mola consiste em um bloco de massa 5 00   g preso a uma dada mola. Sabe-se que o sistema oscila com amplitude de 20 , 0   c m e que ele repete seu movimento a cada 0 , 5   s . Suponha que a posição seja dada por x t = A . cos ⁡ ( ω . t + ϕ ) . Se a posição do bloco em t = 0,120   s é a maior possível, determine:

a ) O período T e a frequência angular do movimento;

b ) A constante da mola;

c ) A velocidade máxima;

d ) A constante de fase ϕ ;

Passo 1

a )

O período é o tempo necessário para que um ciclo se complete, pelo enunciado, temos que:

T = 0 , 5   s

Agora que sabemos o período, fica molezinha determinar a frequência angular:

ω = 2 . π T

ω = 2 . π 0 , 5 = 4 . π ≈ 12,57   r a d / s

Passo 2

b )

Agora que já calculamos a frequência angular, vamos determinar a constante elástica da mola...basta lembrar que:

ω = k m

Substituindo, temos

k = m . ω 2

k = 0 , 5 . 12,57 2

k ≈ 79,00   N / m

Passo 3

c )

Para determinar a velocidade máxima do oscilador, precisamos lembrar como funciona esse negócio! O sistema, quando em posição de mínimo ou máximo, tem que sua energia mecânica é puramente elástica:

E m e c = E e l = k . x 2 2

E valerá:

E m e c = E e l = k . A 2 2 = 79 . 0 , 2 2 2

E m e c = 1 , 58   J

Quando o oscilador estive passando por x = 0 , temos que a energia mecânica será puramente energia cinética, e valerá:

K = m . v 2 2 = E m e c

Substituindo, temos:

0 , 5 . v 2 2 = 1 , 58

v = 2 , 51   m / s

Passo 4

d )

Para determinar a constante de fase, vamos olhar pra cara da função x ( t ) . Das informações que já temos, fica:

x t = A . cos ⁡ ω . t + ϕ

x t = 0 , 2 . cos ⁡ 4 π . t + ϕ

O enunciado nos diz que para t = 0,120   s , x é máximo, ou seja:

x t = 0,12 = 0 , 2

x t = 0,12 = 0 , 2 . cos ⁡ 4 π . 0,12 + ϕ = 0 , 2

cos ⁡ 0,48 π + ϕ = 1 → 0,48 π + ϕ = 0

ϕ = - 0,48 π

Resposta

a )   T = 0 , 5   s ;     ω = 4 π ≈ 1 2 , 57   r a d / s

b )   k = 79   N / m

c )   v = 2 , 51   m / s

d )   ϕ = - 0,48 π

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