UNB, Sem Campus, Física 1, Provas Mecânica Clássica - 2022.2, Questão 3
Um famoso problema no cálculo das variações é o seguinte: dado dois pontos e , com a uma certa altura acima do solo, qual será a forma que devemos construir os trilhos de uma montanha-russa, sem atrito, de modo que um carro largado do ponto alcance ponto no menor tempo possível? (Esse é o famoso problema da braquistócrona, resolva-o em detalhe).
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado aqui pede para você arrasar em explicar o resultado do problema da braquistócrona! O que é essa curva com nome esquisito? É exatamente o que ele descreve
“A braquistócrona é a curva pela qual um corpo percorre de forma que leve o menor tempo possível entre dois pontos”
Nós podemos obter o formato desta curva usando o teorema de mínima ação descrito através do seguinte funcional
em que o funcional representa o tempo que iremos minimizar através do parâmetro , que pode ser escrito em termos da velocidade e posição! Saca só!
Passo 2
Se os pontos e tem coordenadas no plano . Para percorrer uma distância , com uma velocidade que depende da posição, temos que o corpo leva um tempo
vamos tentar escrever isso em termos de e . O elemento de comprimento pode ser obtido como
imagine um triângulo retângulo que ligue os dois pontos. Se evidenciarmos , temos que
A velocidade pode ser obtida aplicando conservação de energia, temos que em uma altura o corpo está em repouso, após descer pela rampa, temos que ele ganha uma velocidade , sendo assim
de forma que a velocidade é dada por
e, finalmente, temos que o nosso infinitesimal temporal é dado por
Ou seja, o funcional toma a forma
Bora caçar uma função que minimize a expressão acima!
Passo 3
Minimizar a expressão acima é o mesmo que aplicar a equação de Euler-Lagrange
para a seguinte Lagrangeana
como não temos uma dependência explícita em , podemos usar a relação de Beltrani dada por
em que é uma constante qualquer. Calculando a derivada parcial em relação , temos
de forma que obtemos a seguinte equação
Vamos simplificar essa expressão!
Passo 4
Primeiro, vamos multiplicar tudo por , temos que
agora, multiplicando por
ou simplesmente
Elevando ambos os lados ao quadrado, e juntando as constantes, temos que resolver
isolando o termo de derivada
Fazendo MMC e tirando a raiz, obtemos
Uff… Agora precisamos integrar essa expressão! Vamo que vamos!
Passo 5
Sendo esta uma equação diferencial separável, podemos calcular a seguinte integração
Isso pode ser resolvido fazendo uma mudança de variáveis, vamos tentar a seguinte
e
e, a integral se torna
usando que , e simplificando alguns termos, obtemos simplesmente que
de maneira que usando a relação de meio ângulo, podemos escrever
chamando
obtemos
Para achar essas constantes vamos precisar escolher um sistema de referência! Saca só!
Passo 6
Vamos escolher um sistema que em , temos , portanto, temos que
que é verdade, ou para , ou para . Como a primeira possibilidade nos leva a solução trivial, vamos escolher a segunda, e sendo assim
e, portanto . Se colocarmos agora que no ponto o nosso corpo está em , e (distância qualquer da origem), temos que
e, da outra equação, temos que
Resolver essas equações no entanto é bastante complicado, é o suficiente estabelecer que a braquistócrona é definida pela parametrização
e
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e