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Exercícios Resolvidos de Oscilador Linear Massa-Mola

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Enunciado

Um bloco de massa m está conectado a uma mola de constante elástica k em um plano inclinado que forma um ângulo α em relação à horizontal. No instante t = 0 , o bloco é solto da posição x = 0 , com velocidade inicial nula. Considerando que a mola está relaxada (nem comprimida, nem esticada) quando x = 0 , determine:

(a) A equação do movimento do bloco ao longo do eixo x mostrado na figura.

(b) A posição da massa x ( t ) em função do tempo. Qual é a amplitude do movimento e os valores máximo ( x m a x ) e mínimo ( x m i n ) de x ?

(c) A energia cinética em função do tempo.

Passo 1

(a) Precisamos aplicar a segunda lei de Newton aqui, fazendo o somatório de todas as forças que atuam no bloquinho: peso (P), normal (N) e força elástica ( F e l ) .

N → + P → + F e l → = m a →

Decompondo o peso, obtemos na direção x que

- m g s e n α - k x = m a

Como a = x ¨ , dividindo tudo por m e rearranjando

x ¨ + k m x = - g s e n ( α )

Que é uma EDO não-homogênea.

Passo 2

(b) A solução dessa EDO vai ter um termo homogêneo e um particular:

x t = x h + x p

Para a parte homogênea

x h ¨ + k m x h = 0

Cuja solução é oscilatória

x h t = A s e n ω t + B c o s ( ω t )

Onde

ω = k m

Para a solução particular, como a parte não-homogênea é constante, chutamos um valor constante.

x p = C

x p ¨ = 0

Jogando na EDO

0 + k m C = - g s e n α

C = - m g s e n α k

Juntando as soluções, obtemos

x t = - m g s e n α k + A s e n ω t + B c o s ( ω t )

Passo 3

Usando as condições iniciais para descobrir as constantes A e B .

x 0 = 0

x ˙ 0 = 0

x 0 = - m g s e n α k + B = 0

B = m g   s e n α k

Derivando x ( t )

x ˙ t = ω A c o s ω t - ω B s e n ( ω t )

x ˙ 0 = ω A = 0

A = 0

Assim, obtemos

x t = m g   s e n α k [ cos ⁡ ω t - 1 ]

Passo 4

Como o coseno   varia entre - 1 e 1 ,

x m i n = m g s e n α k - 1 - 1 = - 2 m g s e n α k

x m a x   = m g s e n α k 1 - 1 = 0

Passo 5

(c) A energia cinética é

K = m v 2 2

Onde a velocidade do bloco é dada por

v = x ˙ t = m g s e n α k ∙ d d t [ cos ⁡ ω t - 1 ]

v = - ω m g s e n α k s e n ( ω t )

K = m 2 ω m g s e n α k 2 s e n 2 ( ω t )

Resposta

(a) x ¨ + k m x = - g s e n ( α )

(b) x t = m g   s e n α k [ cos ⁡ ω t - 1 ]

x m i n = - 2 m g s e n α k

x m a x = 0

(c)

K = m 2 ω m g s e n α k 2 s e n 2 ( ω t )

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