Considere um pêndulo constituído de uma mola com uma massa presa na sua extremidade, conforme mostrado na Figura . A mola é disposta de tal forma que fica em linha reta (por exemplo, podemos imaginar que existe uma barra rígida envolvida pela mola). O comprimento da mola é . A mola é então esticada de um comprimento , passando a assumir um comprimento . Ao mesmo tempo, o pêndulo é deslocado de um ângulo com a vertical. Com base nessas informações, considere as alternativas a seguir.

Obtenha as equações de movimento relativas às coordenadas e .

Primeiro, usando , temos que

A derivada parcial em relação a de nossa lagrangeana é

note que zerei termos que não dependem explicitamente de (isso incluí , já que a velocidade no formalismo lagrangeano é considerada uma variável independente). Aplicando a regra da cadeia e algumas regrinhas básicas de derivação, temos que

Da mesma maneira, precisamos calcular a derivada parcial em relação a , obtendo

calculando então a derivada total

obtemos

Finalmente, a nossa primeira equação do movimento é dada por

Vamos calcular a outra agora! Vem comigo!

Temos que repetir todo o processo para , temos então a seguinte equação

primeiro calculando a derivada parcial em , temos que

a derivada parcial em relação a é dada por

agora, com um pouco mais de trabalho, precisaremos calcular a derivada total

usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos que

Nossa equação do movimento é simplesmente

simplificando, temos que

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!