O gráfico mostra a posição em função do tempo de uma partícula de massa m = 2   k g , ligada a uma mola de massa desprezível, que move-se em movimento retilíneo, sobre uma mesa horizontal lisa, na direção do eixo x, orientado para a direita.

1 . Se o movimento realizado pela massa é um M H S e a sua posição de equilíbrio ocorre em x = 0 , podemos afirmar que a expressão da posição da partícula em função do tempo,

no sistema S I , é dada por:

a   x t = 0,1 cos ⁡ ( 10 π t + 2 π / 3 )

b   x t = 0,1 cos ⁡ ( 10 π t + 4 π / 3 )

c   x t = 0 , 1 cos ⁡ ( 5 π t + 2 π / 3 )

d   x t = 0 , 1 cos ⁡ ( 5 π t + 4 π / 3 )

e   x t = 0,1 cos ⁡ ( 10 π t + π / 3 )

Passo 1

Vem comigo que a gente vai detonar essa questão.

Temos um sistema com M H S em mãos. Para encontrar a expressão que descreve a posição da partícula, vamos usar o fato de que a equação geral de um M H S é dada por:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Onde A é a amplitude do movimento, onde ω = 2 π / T ( T = período) e ϕ é a fase do movimento.

Então temos que achar esses parâmetros para a nossa situação.

Passo 2

Vamos então encontrar esses parâmetros.

A amplitude A é dada pela posição máxima da partícula, olhando o gráfico vemos que A = 0,1   m .

A gora vamos encontrar ω , temos o seguinte:

ω = 2 π T

Para fazer essa conta temos que achar o período. Período é o tempo que se leva para ter uma oscilação, olhando o gráfico temos 5 oscilações em um segundo, logo:

T = 1 5

⇒ T = 0,2   s

Com isso temos que:

ω = 2 π 0,2

⇒ ω = 10 π

Passo 3

Agora temos que encontrar a fase ϕ . Para isso vamos usar a condição inicial da partícula, já que olhando o gráfico temos que em t = 0 , x = - 0,05   m . Assim usando o que temos até agora na expressão da posição.

x 0 = 0,1 cos ⁡ ϕ = - 0,05

⇒ cos ⁡ ϕ = - 0,5

Com isso temos que:

ϕ = 2 π 3   r a d

Ou

ϕ = 4 π 3   r a d

Mas qual é correto? Então, vamos usar outra informação do enunciado, ele diz que em t = 0 a partícula começa seu movimento na direção x positivo, então temos que v > 0 . Usando que v = d x / d t , temos:

v t = - A ω sen ⁡ ( ω t + ϕ )

⇒ v 0 = - A ω sen ⁡ ( ϕ )

Para que essa velocidade seja positiva temos que sen ⁡ ϕ < 0 e para que isso seja verdade temos que ϕ = 4 π / 3 .

Agora juntando tudo a nossa expressão fica da seguinte forma:

x t = 0,1 cos ⁡ 10 π t + 4 π / 3

Então a alternativa correta é a letra ( b ) .

Resposta

b   x t = 0,1 cos ⁡ ( 10 π t + 4 π / 3 )

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