5) Assinale a(s) alternativa(s) corretas, em relação ao resultado do seguinte limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 y 2 x 4 y 4 + x 8

Escolha uma ou mais:

a) O valor do limite é zero

b) Não é possível conclusão sobre esse limite, através da regra dos dois caminhos

c) esse limite não existe

d) O limite diverge para o infinito

e) Nada pode ser afirmado sobre esse limite

f) O limite converge para o número 1

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos precisar fazer uma bela análise sobre esse limite de duas variáveis.

Vamos usar a regra dos dois caminhos pra ver se o limite existe. Vamos tentar calcular o limite por caminhos diferentes. Se o limite der diferente, pra caminhos diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Primeira coisa que vemos é que, se tentarmos substituir os valores, vamos chegar na indeterminação 0/0, né?

Então vamos tentar ver se esse limite realmente existe.

Tentando pela regra dos dois caminhos. Repara que o expoente do y é metade do expoente de x , tanto na parte de cima, quanto na parte de baixo.

Então vamos escolher o caminho:

y = m x 2

Então:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 y 2 x 4 y 4 + x 8 = lim x → 0 ⁡ 2 m x 2 2 x 4 m x 2 4 + x 8

= lim x → 0 ⁡ 2 m 2 x 8 m 4 x 8 + x 8

= lim x → 0 ⁡ 2 m 2 x 8 ( 1 + m 4 ) x 8

= 2 m 2 1 + m 4

Como depende de m ,   então depende do caminho.

Como depende do caminho, o limite não existe.

Então a única opção que cabe é a letra c.

Resposta

Letra c

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