Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 1 2 ⁡ 2 6 x - 3 4 x 4 x 2 - 4 x + 1

Passo 1

Esse é um caso de quociente de funções com x → c o n s t a n t e , portanto vamos, primeiro, fatorar o polinômio do denominador. Como se trata de um trinômio quadrado perfeito, podemos escrever diretamente sua forma fatorada:

lim x → 1 2 ⁡ 2 6 x - 3 4 x 2 x - 1 2

Agora vamos escrever esse limite como um produto de funções, ao invés de um quociente.

lim x → 1 2 ⁡   ( 2 6 x - 3 4 x ) 1 2 x - 1 2

Desse jeito, pela propriedade do limite de um produto de funções, podemos escrever isso como um produto de dois limites:

lim x → 1 2 ⁡   2 6 x - 3 4 x   .     l i m x → 1 2 1 2 x - 1 2

Passo 2

Começaremos resolvendo o primeiro limite. Vamos tentar substituição:

lim x → 1 2 ⁡ 2 6 x - 3 4 x = 2 6 1 2 - 3 4 1 2 = 2 3 - 3 2

Show! Encontramos um número como resultado. Não precisamos saber o valor exato dele, mas é importante saber seu sinal, já que o resultado desse limite será multiplicado pelo resultado do outro limite. Como

2 3 < 3 2

Então

2 3 - 3 2 < 0

Passo 3

Agora, resolveremos o limite

l i m x → 1 2 1 2 x - 1 2

Para isso, teremos que fazer os limites laterais e ver se correspondem.

l i m x → 1 2 - 1 2 x - 1 2 = 1 0 - 2 = + ∞

l i m x → 1 2 + 1 2 x - 1 2 = 1 0 + 2 = + ∞

Já que eles são iguais o resultado desse limite é + ∞ .

Finalmente, podemos multiplicar o resultado dos dois limites resolvidos para achar a resposta final

lim x → 1 2 ⁡ 2 6 x - 3 4 x 4 x 2 - 4 x + 1 = lim x → 1 2 ⁡   2 6 x - 3 4 x   .     l i m x → 1 2 1 2 x - 1 2 = 2 3 - 3 2 + ∞ = - ∞

O resultado é - ∞ pois vimos anteriormente que 2 3 - 3 2 é um número negativo.

Resposta

- ∞

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