Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

b lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2

Passo 1

Substituindo o limite aí, temos uma indeterminação de 0 0 :

lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2 = a 2 - a + 1 a + a a 2 - a 2 = 0 0

Temos que fugir dessa indeterminação. Bora pegar esses polinômios e abri-los em função de suas raízes!

Passo 2

Começamos usando o produto notável da diferença de quadrados nesse cara de baixo:

x 2 - a 2 = x + a x - a

Fazemos Bhaskara no cara de cima agora:

x 2 - a + 1 x + a →     x = - - a + 1 ± - a + 1 2 - 4 1 a 2 1

x = a + 1 ± a 2 + 2 a + 1 - 4 a 2 = a + 1 ± a 2 - 2 a + 1 2

x = a + 1 ± a - 1 2 2 = a + 1 ± a - 1 2

x 1 = a       ;       x 2 = 1

Passo 3

Logo, temos:

lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2 = lim x → a ⁡ x - a x - 1 x + a x - a

Cortamos o x - a no numerador e no denominador:

lim x → a ⁡ x - a x - 1 x + a x - a = lim x → a ⁡ x - 1 x + a

= a - 1 a + a = a - 1 2 a

Obs: Aqui tem um detalhe , se a fosse 0 , o resultado vai para ± ∞ , dependendo de qual lado o x se aproxima de 0 . Para a ≠ 0 , o resultado é esse mesmo.

Resposta

lim x → a ⁡ x 2 - a + 1 x + a x 2 - a 2 = a - 1 2 a

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