Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x - 1 sen 2 ⁡ x

Passo 1

Vamos começar substituindo o ponto do limite: lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x - 1 sen 2 ⁡ x = cos ⁡ 0 - 1 sen 2 ⁡ 0 = 0 0

Temos uma indeterminação. Então precisamos manipular a expressão do limite para chegar no seu valor.

Passo 2

Hmmm. Então vamos tentar cortar alguma coisa. Para tal, é interessante relacionar cos ⁡ 2 x com sen 2 ⁡ x . Assim, de cara, não dá para fazer muita coisa, porque o argumento do primeiro é 2 x , enquanto o do segundo é x . A sacada está no fato de que: sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Assim:

cos ⁡ 2 x - 1 = - 2 sen 2 ⁡ x

Essa fórmula é bem interessante de ser ter em mente, lembre-se dela para a prova!

Passo 3

Agora, vamos substituir o valor encontrado no limite e simplificá-lo:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x - 1 sen 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - 2 sen 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x = - 2

Pronto!

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x - 1 sen 2 ⁡ x = - 2

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