Seja f : R + → R + uma função diferenciável em seu domínio. Considere que a igualdade abaixo é válida para quaisquer dois números x e y do domínio de f :

f x f y f x = f ( x + y )

Considere também que:

lim x → 0 +   ⁡ f x - 1 x = k

Onde k ∈ R - .

  1. Determine, se possível, lim x → 0 + ⁡ f ( x ) .
  2. Determine, se possível, f 2 ( x ) / f ' ( x ) .

Passo 1

Fala pessoal! O nome da belezura é equação funcional e a gente não precisa determiná-la para fazermos a questão. Repare que no limite abaixo:

lim x → 0 +   ⁡ f x - 1 x = k

O denominador tende a 0 e o limite é finito, disto resulta que o numerador tende a 0 bem como, logo:

lim x → 0 +   ⁡ f x - 1 = 0 ⇒ lim x → 0 +   ⁡ f x = 1

Resposta

lim x → 0 +   ⁡ f x = 1

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4