Seja f uma função real tal que para todo x ≠ 1 tem-se

x^2 + 1 ≤ f(x) ≤ (x^2 - 1) / (x - 1)

Calcule o lim(x → 1) f(x) e justifique.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado nos deu a seguinte função definida para todo x ≠ 1 através da seguinte desigualdade

x 2 + 1 ≤ f ( x ) ≤ x 2 - 1 x - 1 .

e, nos pede para calcularmos o limite de f ( x ) quando x → 1 , ou seja

l i m x → 1 f ( x )

Mas como fazer isso se não temos o formato exato de f ( x ) ? Vamos analisar os limites de ambos os lados da desigualdade e você verá que isso possibilitará com que nós sejamos capazes de descobrir o limite desejado! Da seguinte maneira

l i m x → 1 x 2 + 1 ≤ l i m x → 1 f ( x ) ≤ l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Consegue aferir o limite só com isso? Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite do lado direito, que é o mais complicado! O limite é o seguinte

l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1

Note que colocando x = 1 , temos a seguinte indeterminação

l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Mas como se esquivar disto? Note que nosso denominador temos um polinômio quadrático que pode ser reduzido como produto de dois termos, da seguinte maneira

x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

Ou seja, se usarmos isso em nosso limite, ele se torna

l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1 = l i m x → 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1 = l i m x → 1 x + 1

simplificando os termos de x - 1 no denominador e no numerador. Agora, só precisamos substituir x = 1 e temos que

l i m x → 1 x + 1 = 1 + 1 = 2

Ou seja, o limite superior em nossa desigualdade é

l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 2

Agora vamos analisar o limite inferior e ver que tipo de informação isso nos dá! Vamos lá!

Passo 3

O limite inferior é mais simples de resolver, ele é tal que

l i m x → 1 x 2 + 1

Note que, aqui apenas precisamos avaliar o valor quando x = 1 , para obter que

l i m x → 1 x 2 + 1 = 1 2 + 1 = 2

e, portanto, a desigualdade que define nosso limite

l i m x → 1 x 2 + 1 ≤ l i m x → 1 f ( x ) ≤ l i m x → 1 x 2 - 1 x - 1

pode ser escrita como

2 ≤ l i m x → 1 f ( x ) ≤ 2

A desigualdade diz que o limite é maior ou igual a 2 , mas, a desigualdade também diz que o limite é menor ou igual a 2 . A palavra chave aqui é “ou”, o limite não pode ser ao menos tempo maior e menor, mas, ela pode ser igual a 2 sem problemas! Isso é o teorema do confronto, de forma que podemos aferir que

l i m x → 1 f ( x ) = 2

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 1 f ( x ) = 2

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