UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Provas - Teste 9 - AV1 - 2018.1 - Questão 4
Seja uma função real tal que para todo tem-se
Calcule o e justifique.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
O enunciado nos deu a seguinte função definida para todo através da seguinte desigualdade
e, nos pede para calcularmos o limite de quando , ou seja
Mas como fazer isso se não temos o formato exato de ? Vamos analisar os limites de ambos os lados da desigualdade e você verá que isso possibilitará com que nós sejamos capazes de descobrir o limite desejado! Da seguinte maneira
Consegue aferir o limite só com isso? Vem comigo!
Passo 2
Vamos começar calculando o limite do lado direito, que é o mais complicado! O limite é o seguinte
Note que colocando , temos a seguinte indeterminação
Mas como se esquivar disto? Note que nosso denominador temos um polinômio quadrático que pode ser reduzido como produto de dois termos, da seguinte maneira
Ou seja, se usarmos isso em nosso limite, ele se torna
simplificando os termos de no denominador e no numerador. Agora, só precisamos substituir e temos que
Ou seja, o limite superior em nossa desigualdade é
Agora vamos analisar o limite inferior e ver que tipo de informação isso nos dá! Vamos lá!
Passo 3
O limite inferior é mais simples de resolver, ele é tal que
Note que, aqui apenas precisamos avaliar o valor quando , para obter que
e, portanto, a desigualdade que define nosso limite
pode ser escrita como
A desigualdade diz que o limite é maior ou igual a , mas, a desigualdade também diz que o limite é menor ou igual a . A palavra chave aqui é “ou”, o limite não pode ser ao menos tempo maior e menor, mas, ela pode ser igual a sem problemas! Isso é o teorema do confronto, de forma que podemos aferir que
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!