Calcule o seguinte limite

l i m x → 2   x 2 - 5 x + 6 x 2 - 6 x + 8  

Passo 1

Vamos começar trocando o valor de x pelo que ele se aproxima

l i m x → 2 x 2 - 5 x + 6 x 2 - 6 x + 8   = 2 2 - 5.2 + 6 2 2 - 6.2 + 8 = 4 - 10 + 6 4 - 12 + 8 = 0 0

Encontramos uma indeterminação, temos que dar uma arrumada nessa parada

Vamos fatorar os dois polinômio de segundo grau que está no numerador e no denominador da fração, começando pelo numerador

x 2 - 5 x + 6

Lembra como fatorar um polinômio de 2 º grau? Ele tem a forma a x 2 + b x + c , temos que achar suas raízes, e depois ele fatorado vai ficar a x - x 1 x - x 2 com x 1 e x 2 sendo suas raízes.

Vamos as raízes de x 2 - 5 x + 6 , usando a fórmula da equação quadrática vamos ter

x 1 = - - 5 + - 5 2 - 4.6 . 1 2.1 = 5 + 25 - 24 2 = 5 + 1 2 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3

x 2 = - - 5 - - 5 2 - 4.6 . 1 2.1 = 5 - 25 - 24 2 = 5 - 1 2 = 5 - 1 2 = 4 2 = 2

A fatoração vai ficar

x - 3 x - 2

Passo 2

Vamos agora para o polinômio do denominador

x 2 - 6 x + 8

Vamos as raízes de x 2 - 6 x + 8 , usando a fórmula da equação quadrática vamos ter

x 1 = - - 6 + - 6 2 - 4.8 . 1 2.1 = 6 + 36 - 32 2 = 6 + 4 2 = 6 + 2 2 = 8 2 = 4

x 2 = - - 6 - - 6 2 - 4.8 . 1 2.1 = 6 - 36 - 32 2 = 6 - 4 2 = 6 - 2 2 = 4 2 = 2

A fatoração vai ficar

x - 4 x - 2

Passo 3

Voltando para o limite, vamos ter

l i m x → 2   x 2 - 5 x + 6 x 2 - 6 x + 8   = l i m x → 2   x - 3 x - 2 x - 4 x - 2   = l i m x → 2   x - 3 x - 4  

Vamos substituir o valor de x de novo

l i m x → 2   x - 3 x - 4   = 2 - 3 2 - 4 = - 1 - 2 = 1 2

Resposta

1 2

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