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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 5.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 + x 5 - ( 1 + 5 x ) x 5 + x 2  

Passo 1

Vamos abrir o polinômio de cima. Pra quem não tá acostumado a abrir polinômios acima do grau 3 , podemos fazer assim:

x + a n = x n + n x n - 1 a + n n - 1 2 x n - 2 a 2 + … + n n - 1 2 x 2 a n - 2 + n x a n - 1 + a n

Para grau 5 e a = 1 , teremos:

x + 1 5 = x 5 + 5 x 4 1 + 5 4 2 x 3 1 2 + 5 4 2 x 2 1 3 + 5 x 1 4 + 1 5

x + 1 5 = x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1

Dessa maneira, voltando ao limite, teremos:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 5 - 1 + 5 x x 5 + x 2  

= lim x → 0 ⁡ x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1 - ( 1 + 5 x ) x 5 + x 2  

Subtraindo do termo 1 + 5 x que tem ali no final, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1 - 1 + 5 x x 5 + x 2  

= lim x → 0 ⁡ x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 x 5 + x 2

Passo 2

Vamos botar o x 2 em evidência em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ x 2 x 3 + 5 x 2 + 10 x + 10 x 2 x 3 + 1

Cortando os dois, teremos:

= lim x → 0 ⁡ x 3 + 5 x 2 + 10 x + 10 x 3 + 1

Agora é só substituir o limite:

0 3 + 5 0 2 + 10 0 + 10 0 3 + 1

= 10 1 = 10

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + x 5 - ( 1 + 5 x ) x 5 + x 2   = 10

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