1. Calcule o limite, se existir

e. lim x → - 1 ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 3 + 2 x 2 + x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 3 + 2 x 2 + x

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 3 + 2 x 2 + x = - 1 2 + 3 - 1 + 2 - 1 3 + 2 - 1 2 + - 1 = 0 0

Eitaaa, caímos numa indeterminação do tipo 0 0 .

Bora sair dessa!

Passo 2

Para sair dessa indeterminação, vamos reescrever essa função! Repara que no numerador temos um equação do segundo grau. E para esse caso temos essa relação aqui:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes da equação.

Começando pelo numerador, temos que resolver,

x 2 + 3 x + 2 = 0

x = - 3 ± 3 2 - 4 1 + 2 2 1

Deste modo,

x 1 = - 2

x 2 = - 1

Sendo assim,

x 2 + 3 x + 2 = x + 2 ( x + 1 )

Vamos para o denominador!

Passo 3

Agora temos uma equação do terceiro grau,

x 3 + 2 x 2 + x = 0

E vimos que x = - 1 zera a equação, ou seja, ele é uma raiz. Então vamos dividir nossa equação do terceiro grau por ( x + 1 ) e reesscrevê-la.

Para isso vamos fazer o nosso Briof-Ruffine.

Logo,

x 3 + 2 x 2 + x = x + 1 x 2 + x + 0

Vamos voltar para o nosso limite!

Passo 4

Reescrevendo tudo, ficamos com

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 3 + 2 x 2 + x = lim x → - 1 ⁡ x + 2 ( x + 1 ) x + 1 x 2 + x

Simplificando o x + 1 , ficamos com

= lim x → - 1 ⁡ x + 2 x 2 + x

Calculando,

= lim x → - 1 ⁡ x + 2 x 2 + x = - 1 + 2 - 1 2 + - 1 = 1 0 = ± ∞

Resposta

± ∞

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