No limite lim x → a ⁡ f ( x ) / g ( x ) quando o numerador se aproxima de um número diferente de

zero e o denominador tende para zero com um sinal definido, temos um limite infinito. Neste caso, é necessário estudar o sinal da fração quando x está próximo de a, de modo a decidir se o limite é + ∞ ou - ∞ . Por exemplo, lim x → 1 + ⁡ x 2 + 4 x - 2 1 - x 3 = - ∞ , pois o numerador se aproxima de 12   +   4   .   1   -   2   =   3   >   0 e o denominador se aproxima de zero por valor negativos, pois x > 1 (lembre que o limite é pela direita). Assim, a fração tem sinal negativo e, em módulo, fica muito grande. Siga este procedimento para calcular os limites abaixo.

c )   lim x → - 1 + ⁡ x 2 - 2 x + 4 x 2 + x

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Vamos seguir o procedimento do enunciado:

  • Analisar o sinal do numerador
  • Analisar o sinal do denominador
  • Fazer a comparação entre eles e determinar se vamos ter + ∞ ou - ∞

Nosso limite é esse aqui

lim x → - 1 + ⁡ x 2 - 2 x + 4 x 2 + x

Quando x → - 1 + , o numerador:

- 1 2 - 2 - 1 + 4 = 7 > 0

Beleza?

Agora o denominador

( - 1 ) 2 + - 1 = - 1 . - 1 + 1 < 0

Já que x > - 1       (lembra que x se aproxima de -1 por valores maiores do que -1)

Tudo bem até aqui?

Passo 2

Agora vamos juntar todos esses resultados:

lim x → - 1 + ⁡ x 2 - 2 x + 4 x 2 + x = 7 0 - = - ∞

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

- ∞

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