Calcule os seguintes limites:

(e) lim (x, y) → (2,2) arctg(y/x) f(x) = lim (x, y) → (0, 0) e^(sen(x^2y)) + cos(y) / cos(xy)

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos resolver os seguintes limites

( e )   l i m ( x , y ) → ( 2,2 ) a r c t g ( y / x ) ( f )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) e x p [ s e n ( x 2 y ) ] + c o s ( y ) c o s ( x y )

mesmo parecendo assustadores, estes limites não apresentam nenhum tipo de indeterminação! Portanto, só precisamos avaliar eles nos valores indicados! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar então com o limite

l i m ( x , y ) → ( 2,2 ) a r c t g ( y / x )

Avaliando em ( x , y ) = ( 2,2 ) . temos que

l i m ( x , y ) → ( 2,2 ) a r c t g ( y / x ) = a r c t g ( 2 / 2 ) = a r c t g ( 1 )

Qual é o arco cuja tangente é 1 ? É o arco de 45 ° , portanto, temos que

l i m ( x , y ) → ( 2,2 ) a r c t g ( y / x ) = a r c t g ( 1 ) = π / 4

O primeiro limite já foi! Vamos fazer o outro agora!

Passo 3

Temos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) e x p [ s e n ( x 2 y ) ] + c o s ( y ) c o s ( x y )

Se avaliarmos em ( x , y ) = ( 0,0 ) , temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) e x p [ s e n ( x 2 y ) ] + c o s ( y ) c o s ( x y ) = e x p [ s e n ( 0 2 0 ) ] + c o s ( 0 ) c o s ( 00 ) = e x p [ 0 ] + 1 1

ou, como e x p [ 0 ] = 1 , temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) e x p [ s e n ( x 2 y ) ] + c o s ( y ) c o s ( x y ) = 1 + 1 1 = 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( e ) l i m ( x , y ) → ( 2,2 ) a r c t g ( y / x ) = π / 4 ( f ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) e x p [ s e n ( x 2 y ) ] + c o s ( y ) c o s ( x y ) = 2

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