Existe um número a tal que

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2

Exista? Caso afirmativo, encontre o valor de a e o valor do limite.

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora começar outro exercício dessa provinha, novamente envolvendo limites.

Esse problema faz a gente pensar o que precisa acontecer para o limite existir. O grande problema desse exercício é achar o valor de a para que o limite exista, o valor do limite em si a gente se preocupa depois.

Para fazermos isso, bora pensar que o denominador tende a zero, quando x → - 2 . Ou seja, se o numerador tender para qualquer número real, diferente de zero, teremos que o limite não vai existir, pois será um número sobre zero. Por isso, a única forma desse limite existir é o numerador ir para zero, também. Bora forçar para que isso ocorra.

Passo 2

Como foi dito, precisamos que:

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 = 0

E como isso é um polinômio, podemos só colocar o valor do limite, ou seja:

3 - 2 2 - 2 a + a + 3 = 0

E por isso

a = 15

Passo 3

Agora bora colocar esse valor de a e calcular o limite:

lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 = lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + 15 x + 15 + 3 x 2 + x - 2

E fazendo as contas, temos:

= lim x → - 2 ⁡ 3 ( x 2 + 5 x + 6 ) x 2 + x - 2

Além disso, podemos fatoras esses polinômios do problema.

Basta vermos que:

x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 )

x 2 + x - 2 = ( x - 1 ) ( x + 2 )

Substituindo isso:

lim x → - 2 ⁡ 3 ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 2 )

Agora podemos cortar ( x + 2 ) , ficando:

lim x → - 2 ⁡ 3 ( x + 3 ) ( x - 1 )

E agora basta substituirmos o valor de x por - 2 , ficando com:

lim x → - 2 ⁡ 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) = 3 - 2 + 3 ( - 2 - 1 ) = - 1

E assim chegamos ao fim de mais um problema, bora para o próximo que já está acabando essa provinha.

Resposta

- 1

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