UFMG, Cálc.1, P1, 3
Existe um número tal que
Exista? Caso afirmativo, encontre o valor de e o valor do limite.
Passo 1
Falaaaa, blz?? Bora começar outro exercício dessa provinha, novamente envolvendo limites.
Esse problema faz a gente pensar o que precisa acontecer para o limite existir. O grande problema desse exercício é achar o valor de para que o limite exista, o valor do limite em si a gente se preocupa depois.
Para fazermos isso, bora pensar que o denominador tende a zero, quando . Ou seja, se o numerador tender para qualquer número real, diferente de zero, teremos que o limite não vai existir, pois será um número sobre zero. Por isso, a única forma desse limite existir é o numerador ir para zero, também. Bora forçar para que isso ocorra.
Passo 2
Como foi dito, precisamos que:
E como isso é um polinômio, podemos só colocar o valor do limite, ou seja:
E por isso
Passo 3
Agora bora colocar esse valor de e calcular o limite:
E fazendo as contas, temos:
Além disso, podemos fatoras esses polinômios do problema.
Basta vermos que:
Substituindo isso:
Agora podemos cortar , ficando:
E agora basta substituirmos o valor de por , ficando com:
E assim chegamos ao fim de mais um problema, bora para o próximo que já está acabando essa provinha.