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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 3, GMA, 2008-1, Questão 6

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 5 x + 2

Passo 1

A primeira coisa que vamos tentar é substituir x por 1 2 na expressão do limite.

lim x → 1 2 ⁡ 2 1 2 2 + 5 1 2 - 3 2 1 2 2 - 5 1 2 + 2 = 2 4 + 5 2 - 3 2 4 - 5 2 + 2 = 1 2 + 5 2 - 6 2 1 2 - 5 2 + 4 2 = 0 0

Af! Caímos numa indeterminação. Mas fica calmo, nem tudo está perdido. Tem algo bom no meio disso tudo, porque agora sabemos que 1 2 é raiz dos polinômios que compõem esse limite. Sabendo disso, podemos dividir os dois polinômios por x - 1 2 e, assim, descobrir suas formas fatoradas. Elas são

2 x 2 + 5 x - 3 = 2 x - 1 2 ( x + 3 )

2 x 2 - 5 x + 2 = 2 x - 1 2 ( x - 2 )

Passo 2

Reescrevendo o limite obtemos

lim x → 1 2 ⁡ 2 x - 1 2 ( x + 3 ) 2 x - 1 2 ( x - 2 )

Agora podemos simplificar!

lim x → 1 2 ⁡ ( x + 3 ) ( x - 2 ) = 1 2 + 3 1 2 - 2 = 7 2 - 3 2 = - 7 3

Resposta

- 7 3

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4