UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas -Prf° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1 - Questão 2.4cd
Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Precisamos resolver os seguintes limites
para o primeiro limite vamos ter que usar o limite fundamental trigonométrico (vou apresentar durante a resolução, mas é aquele do seno), e para o segundo precisaremos além do limite fundamental trabalhar a expressão um pouquinho antes! Beleza? Vem comigo!
Passo 2
Vamos começar então com o limite
Eu disse que iríamos usar o limite trigonométrico fundamental que é da seguinte forma
Mas, o nosso limite não tem esse formato exatamente! O segredo é o seguinte, temos um no argumento do seno que está no numerador, portanto, vamos multiplicar e dividir o nosso limite por , temos que
Agora ficou mais simples, certo? Consegue visualizar? Saca só!
Passo 3
O limite que sobrou pode ser dividido em três limites diferentes da forma
Como os dois últimos termos dependem apenas de e de respectivamente, podemos simplificar o limite para
agora usando que
Os três limites podem ser resolvidos para se obter
ou simplesmente
O primeiro já foi! Vamos para o segundo!
Passo 4
Agora temos que resolver o seguinte limite
os senos no denominador indicam que o limite fundamental trigonométrico será útil, no entanto, o numerador está meio esquisito! O que podemos fazer aqui é multiplicar e dividir por e ver se isso nos ajuda a encontrar uma função seno através da identidade trigonométrica fundamental, temos que
temos que , portanto, podemos escrever
Agora temos um truco bem similar ao que fizemos para o outro limite! Consegue adivinhar? Bora lá!
Passo 5
Vamos multiplicar e dividir o nosso limite por , temos que
que pode ser escrito como
Os dois primeiros termos são aplicações do limite fundamental trigonométrico como fizemos para o outro limite, e o terceiro termo pode ser resolvido diretamente avaliando em , temos que
ou, simplesmente
o limite é então dado por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!