1a) Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique!)(NÃO é permitido uso da regra de L’Hôspital)
Passo 1
Vamos lá. Pra começar, a primeira coisa que a gente tem que fazer quando vê um limite é substituir pra ver o que dá. Então partiu:
Eita! Indeterminação! Mas relaxa gafanhoto, que tem como a gente se safar dela. Nota o seguinte, se em cima e em baixo a substituição deu , é porque é raiz dos dois polinômios! Isso ajuda a gente porque quer dizer que podemos reescrever o limite dessa forma:
Onde são polinômios também, um grau menor do que os que deram origem a eles. O truque vai ser descobrir quem são eles. Pro de baixo é tranquilo:
Agora vamos pro de cima!
Passo 2
Pô, o polinômio de cima é do terceiro grau! Pra gente achar a melhor forma é usar divisão de polinômios, isto é, tio Briot-Ruffini. Faz assim, pega os coeficientes do polinômio de cima e dispõe eles assim:
Agora a gente faz assim. Desce ce o primeiro número, multiplica pelo no canto superior esquerdo, que é uma raiz conhecida qualquer do polinômio (no caso, conhecemos ) e soma com o segundo número. O resultado disso põe em baixo do segundo número e repete. Vamos lá? Primeiro passo então:
Passo 2:
Passo 3:
E por fim, chegamos a:
Os valores em baixo são os coeficientes do polinômio que vai ser necessariamente um grau inferior. O último número chamamos de resto. Dessa forma, escrevemos:
E logo:
Passo 3
E fechou pessoal, agora é só calcular o limite: