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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 4

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ 3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 2 x - 2 2

Passo 1

Esse é um caso de quociente de funções com x → c o n s t a n t e , portanto vamos tentar fatorar o polinômio do numerador e do denominador também. O polinômio 3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 possui uma raiz simples de identificar que é x = 1 . Logo, esse polinômio pode ser escrito assim:

3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 = x - 1 ( 3 x 2 + x - 2 )

Usando Bhaskara descobrimos que as raízes do polinômio 3 x 2 + x - 2 são

x = - 1

x = 2 3

Então, na forma fatorada ele fica assim:

3 x 2 + x - 2 = ( 3 x - 2 ) ( x + 1 )

Finalmente, o polinômio do numerador pode ser escrito na forma fatorada:

3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 = x - 1 ( 3 x - 2 ) ( x + 1 )

Passo 2

Agora podemos reescrever o limite assim

lim x → 1 ⁡ x - 1 ( 3 x - 2 ) ( x + 1 ) 2 ( x - 1 ) 2

lim x → 1 ⁡ x - 1 3 x - 2 x + 1 4 x - 1 x - 1

lim x → 1 ⁡ ( 3 x - 2 ) ( x + 1 ) 4 ( x - 1 )

Passo 3

Agora, teremos que usar um artifício especial, a mudança de variável.

x - 1 = u ∴ x = u + 1

x → 1 ∴ u → 0

lim x → 1 ⁡ 3 x - 2 x + 1 4 x - 1 = lim u → 0 ⁡ 3 u + 1 - 2 u + 1 + 1 4 u

lim u → 0 ⁡ ( 3 u + 3 - 2 ) ( u + 2 ) 4 u

lim u → 0 ⁡ 3 u + 1 u + 2 4 u

lim u → 0 ⁡ 3 u 2 + 7 u + 2 4 u

Agora colocaremos u em evidência para que o denominador não possua mais um termo que se aproxima de zero.

lim u → 0 ⁡ u 3 u + 7 + 2 u 4 u

lim u → 0 ⁡ 3 u + 7 + 2 u 4

Agora, perceba que

lim u → 0 - ⁡ 3 u + 7 + 2 u 4 = - ∞

E

lim u → 0 + ⁡ 3 u + 7 + 2 u 4 = ∞

Já que os limites laterais são diferentes, o limite não existe.

Resposta

N ã o   e x i s t e

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