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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

  1. Calcule o limite, se existir

g. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 7 - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 7 - 1

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 7 - 1 = 1 3 - 1 1 7 - 1 = 0 0

Eitaaa, caímos numa indeterminação do tipo 0 0 .

Bora sair dessa!

Passo 2

Para sair dessa indeterminação, vamos reescrever essa função! Repara que no numerador tem uma equação do terceiro grau com essa cara aqui

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Com isso, temos que

x 3 - 1 = x - 1 x 2 + x + 1

Vamos para o denominador!

Passo 3

Agora temos uma equação do sétimo grau,

x 7 - 1 = 0

E vimos que x = + 1 zera a equação, ou seja, ele é uma raiz. Então vamos dividir nossa equação do sétimo grau por ( x - 1 ) e reesscrevê-la.

Para isso vamos fazer o nosso Briof-Ruffine.

Logo,

x 7 - 1 = x - 1 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

Vamos voltar para o nosso limite!

Passo 4

Reescrevendo tudo, ficamos com

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 7 - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 2 + x + 1 x - 1 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

Simplificando o x - 1 , ficamos com

= lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

Calculando,

lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 1 2 + 1 + 1 1 6 + 1 5 + 1 4 + 1 3 + 1 2 + 1 + 1

lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 3 7

Prontinho!

Resposta

3 7

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