Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x 3 + 8

Passo 1

Como tem uma raiz cubica no numerador, vamos tentar transformar esse numerador no produto notável

( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 )

Faremos

x - 6 3 + 2 = a + b

Assim,

a 2 - a b + b 2 = x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

E o limite ficará desse jeito:

lim x → - 2 ⁡ x - 6 3 + 2 x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4 ( x 3 + 8 ) x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

Agora podemos transformar o numerador para a forma a 3 + b ³

lim x → - 2 ⁡ ( x - 6 3 ) ³ + 2 ³ ( x 3 + 8 ) x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

lim x → - 2 ⁡ x - 6 + 8 ( x 3 + 8 ) x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

lim x → - 2 ⁡ x + 2 ( x 3 + 8 ) x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

Passo 2

Agora o termo do denominador. Usando o mesmo produto notável, sabemos que

a + b a 2 - a b + b 2 = a 3 + b ³

Nesse caso, como temos

x 3 + 8 = x 3 + 2 3

Podemos chamar

a = x

b = 2

E o produto notável se torna

x + 2 x 2 - 2 x + 2 2 = x 3 + 8

Passando isso pro limite temos:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x + 2 x 2 - 2 x + 4 x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

Passo 3

Agora, resolveremos o limite

lim x → - 2 ⁡ 1 x 2 - 2 x + 4 x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4

lim x → - 2 ⁡ 1 x 2 - 2 x + 4 x - 6 3 2 - 2 x - 6 3 + 4 = 1 ( - 2 2 - 2 - 2 + 4 ) - 2 - 6 3 2 - 2 - 2 - 6 3 + 4 = 1 144

Resposta

1 144

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