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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 601234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 53

(Capítulo 14.7 – Exercício 53) Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível?

Passo 1

Oii gente, vamos maximizar uma funçãozinha? hahahaha

Vamos considerar os lados do retângulo como x , y e z . Então a diagonal fica assim ó:

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

E o volume da caixa é a multiplicação das dimensões:

V x , y , z = x y z

Da primeira equação:

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Isolando o termo z :

z = L 2 - x 2 - y 2

Substituindo na função V :

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

A ideia vai ser encontrar os pontos críticos e ver qual é o ponto de máximo, fechou? Então vamoss

Passo 2

As derivadas parciais da função V são

V x = y L 2 - x 2 - y 2 - x 2 y L 2 - x 2 - y 2

V y = x L 2 - x 2 - y 2 - x y 2 L 2 - x 2 - y 2

Para encontrarmos os pontos críticos, vamos fazer V x = V y = 0

Igualando a zero, temos:

y L 2 - x 2 - y 2 - x 2 y L 2 - x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - y 2 - x y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0

Logo,

y L 2 - 2 x 2 - y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - 2 y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0

Passo 3

Então temos o seguinte:

y L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - 2 y 2 = 0

Como x , y ≠ 0 :

2 x 2 + y 2 = L 2 x 2 + 2 y 2 = L 2

Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos:

x = y = L 3

Agora é só achar o z .

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Assim,

z = L 3

Então o volume fica o seguinte:

V = L 3 × L 3 × L 3 = L 3 3 3

Resposta

L 3 3 3

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