Considere a função

onde e são duas constantes reais.

1. Encontre os pontos (, ) tais que os autovalores da matriz hessiana de sejam estritamente positivos nestes pontos.
2. Classifique os pontos críticos de quanto a sua natureza (máximo local, mínimo local ou sela).

Matriz hessiana:

Substituindo derivadas segundas:

Legal! Agora, para que os autovalores sejam positivos, então, com certeza a soma desses autovalores é positiva e o produto entre eles também é positivo.

Sabemos que o traço da matriz (soma da diagonal) é a soma dos autovalores e o determinante é o produto.

Então temos essas duas condições:

1. Traço tem que ser positivo:

Como , , e são positivos, então essa soma é positiva para quaisquer valores de e .

2. Determinante da matriz tem que ser positivo:

Como é um valor positivo, podemos multiplicar nos dois lados sem alterar o sinal da desigualdade:

Resolvendo item (b): Vamos classificar todos os pontos críticos da função.

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos.

Para isso, calcular gradiente:

Conforme calculamos antes:

Encontrar pontos críticos:

Igualando as coordenadas:

Jogando para o lado direito:

Substituindo a segunda equação na primeira:

Temos duas possibilidades:

ou

Mas note que o problema nos diz que ! Além do mais, aparece no denominador da função. Então a função não está definida para .

Portanto, só temos uma possibilidade:

Substituindo na segunda equação:

Temos, então, apenas um ponto crítico:

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Para isso, precisamos saber o traço e determinante da matriz hessiana. Sabemos que a soma dos autovalores corresponde ao traço e o produto corresponde ao determinante.

Como vimos antes:

No ponto crítico, temos que e

Substituindo em :

Substituindo em :

Note que e .

Isso significa que os dois autovalores são positivos, pois a soma é positiva e o produto também!

Então este é um ponto de mínimo local!