Para que as equações do passo 2 sejam verdadeiras, precisamos que

Ou

E

Ou

A exponencial é sempre diferente de zero, assim, temos

Portanto, já temos nosso primeiro ponto crítico:

Continuando a resolução das equações que faltam:

Igualando as duas, teríamos

Mas isso é impossível né?? Então essas duas parcelas não podem ser iguais a zero ao mesmo tempo. Assim, se tivermos:

Precisamos que

Para que ao mesmo tempo e . Assim, vamos ter

E, portanto:

Ou seja, temos mais dois pontos críticos e .

Da mesma forma, se temos:

Precisamos que:

Assim:

Agora, novamente mais dois pontos críticos e . Dessa, forma temos pontos críticos:

Agora devemos calcular o determinante de

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

Agora, vamos ao teste da derivada segunda, para o ponto crítico :

Assim,

Como é maior que zero, temos que analisar o sinal de .

Logo, é ponto de mínimo local.

Agora temos que analisar se é também ponto de mínimo global.

Vamos tentar provar que é o menor valor que a função pode assumir.

Como a função possui termos elevados a expoentes pares, temos que

Além disso, a exponencial também é sempre maior ou igual a zero, independente do expoente:

Assim

E, como

Então é ponto de mínimo global também.

Agora vamos testar para :

Para :

Para :

Para :

Assim,

Como é menor que zero, é um ponto de cela. sempre aparece ao quadrado nas derivadas, exceto em , porém, no determinante de , teremos , então o sinal não muda e o mesmo pode ser afirmado para .

Vamos testar agora para o ponto . Neste caso, vamos ter:

Para :

Para :

Para :

Dessa forma, teremos:

Como é maior que zero, analisamos . Pelo valor calculado:

Então temos que é um ponto de máximo local. O mesmo pode ser afirmado de .

Vamos verificar agora se o máximo é global. Temos que:

Como a função tende para zero para grandes e os outros pontos críticos ou são sela ou são pontos de mínimo, segue que esses pontos são pontos de máximo globais da função. 😊