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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 11

(Capítulo 14.7 – Exercício 11) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

Passo 1

Fala aí! Nosso enunciado pede para acharmos os locais máximos e mínimos da função que foi dada pra gente… Bom, pra fazer isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada, beleza? Vamos juntos que vai dar certo!

Passo 2

Nossa função é essa aqui:

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

Fazendo as derivadas parciais de primeira ordem, vamos ter:

f x = 3 x ² - 12 y

f y = - 12 x + 24 y ²

Passo 3

Temos que lembrar que para encontrar os pontos críticos, precisamos fazer o seguinte:

f x = f y = 0

3 x ² - 12 y =   - 12 x + 24 y ² = 0

Usando a primeira parte da equação:

3 x 2 - 12 y = 0

3 x 2 = 12 y

x 2 = 4 y

y = x 2 4

Substituindo na segunda expressão, temos:

- 12 x + 24 . x 4 16 = 0

- 12 x + 3 2 x 4 = 0

x . - 12 + 3 2 x 3 = 0

Com isso, temos x 1 = 2 e x 2 = 0 , e portanto

y = x 2 4

y 1 = 2 2 4 = 1

y 2 = 0 2 4 = 0

Assim, os pontos críticos são 0,0 , 2,1 .

Passo 4

Agora bora pro teste da segunda derivada

As segundas derivadas parciais são

f x x = 6 x

f x y = f y x = - 12

f y y = 48 y

Agora podemos encontrar o determinante hessiano, ele será dado por:

D = f x x .   f x y .   f y x .   f y y  

D = 6 x . 48 y - - 12 . ( - 12 )

D = 288 x y - 12 ²

Usando o teste da segunda derivada com os 2 pontos críticos, temos:

0,0 → D 0,0 = 0 - 12 2 = - 144 < 0 → ponto de sela

2,1 → D 2,1 = 576 - 12 2 = 432 > 0   e   f x x = 12 > 0 → mínimo local

E fimmm

Resposta

Os pontos críticos são 0,0   p o n t o   d e   s e l a   e   2,1   ( m í n i m o   l o c a l )

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