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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 211234567891011121314151617181920222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Seja f : R 2 → R dada por

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2

  1. Determine os pontos críticos de f
  2. Classifique os pontos obtidos no item anterior.

Passo 1

a )

Ver pontos críticos é identificar onde todas as derivadas parciais são nulas ou onde alguma delas não existe. Então, precisamos, primeiro, calcular essas derivadas

∂ f ∂ x = 4 x 3 - 4 y

∂ f ∂ y = 4 y 3 - 4 x

Passo 2

Como essas derivadas existem para quaisquer x , y precisamos descobrir aonde elas se anulam! Ou seja, devemos ter

4 x 3 - 4 y = 0

4 y 3 - 4 x = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, temos, das duas primeiras equações que:

y = x ³

E

x = y 3

Assim

x = x 3 3 = x 9

x 9 - x = 0

Decompondo esse polinômio, temos

x x 8 - 1 = ( x - 0 ) x + 1 x - 1 x 2 + 1 x 4 + 1 = 0

Então os pontos críticos são:

( 0,0 )

( - 1 , - 1 )

( 1,1 )

Passo 4

b )

Agora vamos analisar que tipos de pontos críticos são estes:

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 4 x 3 - 4 y = 12 x ²

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 y 3 - 4 x = 12 y ²

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y 3 - 4 x = - 4

Passo 5

Calculando H P :

H P = f x x f x y f y x f y y

⇒ H = 12 x ² - 4 - 4 12 y ²

⇒ H = 12 x 2 12 y 2 - ( - 4 ) ( - 4 )

⇒ H = 144 x 2 y 2 - 16

Passo 6

Agora, vamos testar o valor de H para cada ponto crítico.

Para P 0 = ( 0,0 )

H P 0 = - 16 < 0 ⇒ 0,0   é   p o n t o   d e   s e l a

Para P 0 = ( ± 1 , ± 1 )

H P 0 = 144 - 16 = 128 > 0

E

f x x P 0 = 12 > 0

Portanto, os pontos ( 1,1 ) e ( - 1 , - 1 ) são pontos de mínimo locais.

Resposta

  1. ( 0,0 )

    ( - 1 , - 1 )

    ( 1,1 )

  2. O ponto ( 0,0 ) é ponto de sela e os pontos ( 1,1 ) e ( - 1 , - 1 ) são pontos de mínimo locais.

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