Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 49
(Capítulo 14.7 – Exercício 49) Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c.
Passo 1
Faaaala galera, vamos lá pra mais um exercício de maximização
Vamos começar chamando as dimensões da caixa de . Assim, temos 4 arestas em cada dimensão, e como queremos que a soma seja uma constante , teremos:
Belezinha, mas a função que queremos maximizar é a função que nos dá o volume da caixa, então:
Substituindo o que encontramos ali em cima:
e
Showww, então agora é só a gente encontrar o ponto de máximo dessa função, e faremos isso encontrando os pontos críticos, fechou? Boraaa
Passo 2
As derivadas parciais da função são:
Para encontrarmos o ponto crítico, precisamos fazer
Fazendo :
Fazendo :
A partir das duas equações acima, temos e .
Assim,
Com isso, o volume será máximo quando a caixa retangular for um cubo de aresta , fechouuu?
Resposta
O volume será máximo quando a caixa retangular for um cubo de aresta