Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Sobre a função dada por
Considere as afirmações:
- Para todo , tem exatamente um ponto crítico
- Para todo , não tem pontos de mínimo local
- tem um único ponto de sela se, e somente se,
- Para é um maximo local de
São verdadeiras:
- Todas as afirmativas
- Apenas as afirmações II, III, IV
- Apenas as afirmações I e III
- Apenas as afirmações I, III, IV
- Apenas as afirmações III, IV
Passo 1
Vamos começar achando os pontos críticos da nossa .
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais e igualar a zero:
Da segunda equação, tiramos que
Substituindo isso na primeira equação:
E assim
Portanto, nossos pontos críticos são
NossoS porque o pode assumir qualquer valor real, então na verdade para cada valor diferente de teremos um ponto diferente.
Com isso, já excluímos a afirmação I.
Passo 2
Agora vamos classificar esses pontos críticos.
Achando as derivadas segundas:
Substituindo no ponto crítico, ficamos com elas mesmas, pois elas já tem valores constantes.
Passo 3
O teste da derivada segunda fica então
Agora precisamos analisar o sinal de para saber o sinal de .
Os critérios do teste são:
é ponto de máximo ou mínimo
Se é ponto de mínimo
Se é ponto de máximo
é ponto de sela
Passo 4
Agora vamos testar as alternativas que faltam.
Começando pela segunda:
- Para todo , não tem pontos de mínimo local
- tem um único ponto de sela se, e somente se,
- Para é um maximo local de
Para , precisamos que
Mas, se , então , de modo que não pode ter pontos de mínimo.
Passo 5
Agora vamos para a terceira:
Se resulta em , conforme achamos no passo anterior, então para , então é preciso que .
Ou seja, essa afirmativa é verdadeira.
Passo 6
Finalmente, ultima alternativa!
Se :
E
Logo,
É um ponto de máximo local e
É um máximo local.
Afimativa IV é verdadeira.